119 Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу)
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
119 Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):
- \(y=x^{6}\); 2) \(y=x^{5}\); 3) \(y=x^{7}\);
- \(y=x^{-2}\); 5) \(y=x^{-3}\); 6) \(y=x^{-6}\).
Кратко: всё определяется знаком показателя степени и его чётностью.
| № | Функция | Как выглядит эскиз | \(D(y)\) | \(E(y)\) | Ограниченность |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(y=x^6\) | U-образная кривая, ветви вверх, симметрия относительно \(Oy\) | \(\mathbb R\) | \([0;+\infty)\) | сверху — нет, снизу — да |
| 2 | \(y=x^5\) | возрастает, проходит через \(O(0;0)\), ветви в III и I четвертях | \(\mathbb R\) | \(\mathbb R\) | сверху — нет, снизу — нет |
| 3 | \(y=x^7\) | похожа на \(y=x^5\), но при \(|x|>1\) круче | \(\mathbb R\) | \(\mathbb R\) | сверху — нет, снизу — нет |
| 4 | \(y=x^{-2}\) | две ветви над \(Ox\), асимптоты \(x=0\) и \(y=0\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \((0;+\infty)\) | сверху — нет, снизу — да, граница \(0\) |
| 5 | \(y=x^{-3}\) | две ветви в I и III четвертях, асимптоты \(x=0\), \(y=0\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\) | сверху — нет, снизу — нет |
| 6 | \(y=x^{-6}\) | две ветви над \(Ox\), у оси \(Oy\) выше, чем у \(y=x^{-2}\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \((0;+\infty)\) | сверху — нет, снизу — да, граница \(0\) |
Почему так:
Если \(n\) — целое положительное, то \(D(y)=\mathbb R\).
При чётном \(n\) график симметричен относительно \(Oy\), а \(E(y)=[0;+\infty)\).
При нечётном \(n\) график симметричен относительно начала координат, а \(E(y)=\mathbb R\).Если показатель отрицательный, то \(x\neq 0\), поэтому \(D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\).
Для чётной отрицательной степени \(y>0\), значит, \(E(y)=(0;+\infty)\).
Для нечётной отрицательной степени \(y\) принимает и положительные, и отрицательные значения, поэтому \(E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).Ограниченность сверху или снизу определяется множеством значений: если значения неограниченно растут вверх, функция не ограничена сверху; если неограниченно уходят вниз, не ограничена снизу.
Отдельно запомни: \(y=x^{-3}\) убывает на каждом из промежутков \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\), но не на всей области определения сразу.
