Реши номера с 208 по 214 по абрацу из тетради
Сверь числа и знаки с фото.
208\n1) \(4^{x-1}=1\); 2) \(0{,}3^{3x-2}=1\); 3) \(2^x=2^{3\sqrt{5}}\); 4) \(\left(\frac{1}{3}\right)^x=\left(\frac{1}{3}\right)^3\).\n209\n1) \(27^x=\frac{1}{3}\); 2) \(400^x=\frac{1}{20}\); 3) \(\left(\frac{1}{5}\right)^x=25\); 4) \(\left(\frac{1}{3}\right)^x=\frac{1}{81}\).\n210\n1) \(3\cdot9^x=81\); 2) \(2\cdot4^x=64\).\n211\n1) \(3^{2x-1}+3^{2x}=108\); 2) \(2^{3x+2}-2^{3x-2}=30\); 3) \(2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=28\); 4) \(3^{x-1}-3^x+3^{x+1}=63\).\n212\n1) \(5^x=8\); 2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^x=\left(\frac{1}{3}\right)^x\); 3) \(3^x=5^{2x}\); 4) \(4^x=3^{\frac{x}{2}}\).\n213\n1) \(9^x-4\cdot3^x+3=0\); 2) \(16^x-17\cdot4^x+16=0\); 3) \(25^x-6\cdot5^x+5=0\); 4) \(64^x-8^x-56=0\).\n214\n1) \(3^{x^2+x-12}=1\); 2) \(2^{x^2+17x+16}=1\); 3) \(2^{x^2-2}=4\); 4) \(0{,}5^{\frac{x}{2}}=4^{x+1}\).
Рукописный образец решений в тетради:\n1) \(4\cdot2^x=1\): \(2^{x+2}=2^0\), \(x=-2\).\n2) \(2^{3x}\cdot3^x=576\): \((2^3)^x\cdot3^x=576\), \(8^x\cdot3^x=576\), \(24^x=24^2\), \(x=2\).\n6) \(9^x-4\cdot3^x-45=0\): замена \(t=3^x\), \(t^2-4t-45=0\), \(t_1=9\), \(t_2=-5\); \(3^x=9\), \(x=2\); \(3^x=-5\) — нет корней.
Сначала — краткие ответы. В образце из тетради главное правило такое: степени приводят к одному основанию и приравнивают показатели; при сумме степеней выносят общий множитель; если получается квадратное уравнение относительно \(a^x\), делают замену \(t=a^x>0\).
| № | Ответы |
|---|---|
| 208 | 1) \(1\); 2) \(\frac23\); 3) \(3\sqrt5\); 4) \(3\) |
| 209 | 1) \(-\frac13\); 2) \(-\frac12\); 3) \(-2\); 4) \(4\) |
| 210 | 1) \(\frac32\); 2) \(\frac52\) |
| 211 | 1) \(2\); 2) \(1\); 3) \(3\); 4) \(3\) |
| 212 | 1) \(\log_5 8\); 2) \(0\); 3) \(0\); 4) \(0\) |
| 213 | 1) \(0;1\); 2) \(0;2\); 3) \(0;1\); 4) \(1\) |
| 214 | 1) \(-4;3\); 2) \(-16;-1\); 3) \(-2;2\); 4) \(-\frac45\) |
Ключевые шаги
208
\(4^{x-1}=1=4^0\), поэтому \(x-1=0\), \(x=1\).
\(0{,}3^{3x-2}=1=0{,}3^0\), поэтому \(3x-2=0\), \(x=\frac23\).
\(2^x=2^{3\sqrt5}\), поэтому \(x=3\sqrt5\).
\(\left(\frac13\right)^x=\left(\frac13\right)^3\), поэтому \(x=3\).
209
\(27^x=\left(3^3\right)^x=3^{3x}\), а \(\frac13=3^{-1}\). Значит, \(3x=-1\), \(x=-\frac13\).
\(400^x=\left(20^2\right)^x=20^{2x}\), а \(\frac1{20}=20^{-1}\). Значит, \(2x=-1\), \(x=-\frac12\).
\(\left(\frac15\right)^x=5^{-x}\), а \(25=5^2\). Тогда \(-x=2\), \(x=-2\).
\(\left(\frac13\right)^x=3^{-x}\), а \(\frac1{81}=3^{-4}\). Тогда \(-x=-4\), \(x=4\).
210
\(3\cdot9^x=81\), \(9^x=27\), \(3^{2x}=3^3\), \(2x=3\), \(x=\frac32\).
\(2\cdot4^x=64\), \(4^x=32\), \(2^{2x}=2^5\), \(2x=5\), \(x=\frac52\).
211
\(3^{2x-1}+3^{2x}=108\). Выносим \(3^{2x-1}\): \[ 3^{2x-1}(1+3)=108,\quad 4\cdot3^{2x-1}=108, \] \[ 3^{2x-1}=27=3^3,\quad 2x-1=3,\quad x=2. \]
\(2^{3x+2}-2^{3x-2}=30\). Выносим \(2^{3x-2}\): \[ 2^{3x-2}(2^4-1)=30,\quad 15\cdot2^{3x-2}=30, \] \[ 2^{3x-2}=2,\quad 3x-2=1,\quad x=1. \]
\(2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=28\). Выносим \(2^{x-1}\): \[ 2^{x-1}(4+2+1)=28,\quad 7\cdot2^{x-1}=28, \] \[ 2^{x-1}=4=2^2,\quad x-1=2,\quad x=3. \]
\(3^{x-1}-3^x+3^{x+1}=63\). Выносим \(3^{x-1}\): \[ 3^{x-1}(1-3+9)=63,\quad 7\cdot3^{x-1}=63, \] \[ 3^{x-1}=9=3^2,\quad x-1=2,\quad x=3. \]
212
\(5^x=8\). По определению логарифма: \[ x=\log_5 8. \]
\(\left(\frac12\right)^x=\left(\frac13\right)^x\). Делим на \(\left(\frac13\right)^x\): \[ \left(\frac{1/2}{1/3}\right)^x=1,\quad \left(\frac32\right)^x=1. \] Так как основание не равно \(1\), показатель равен \(0\): \(x=0\).
\(3^x=5^{2x}=25^x\). Тогда \[ \left(\frac{3}{25}\right)^x=1, \] поэтому \(x=0\).
\(4^x=3^{x/2}\). Запишем \(3^{x/2}=(\sqrt3)^x\). Тогда \[ \left(\frac4{\sqrt3}\right)^x=1, \] поэтому \(x=0\).
213
Здесь в тетради как раз используется замена \(t=a^x>0\).
\(9^x-4\cdot3^x+3=0\). Пусть \(t=3^x>0\), тогда \(9^x=t^2\): \[ t^2-4t+3=0,\quad t=1;3. \] Значит, \(3^x=1\) или \(3^x=3\), то есть \(x=0\) или \(x=1\).
\(16^x-17\cdot4^x+16=0\). Пусть \(t=4^x>0\): \[ t^2-17t+16=0,\quad t=1;16. \] Тогда \(4^x=1\) или \(4^x=16\), то есть \(x=0\) или \(x=2\).
\(25^x-6\cdot5^x+5=0\). Пусть \(t=5^x>0\): \[ t^2-6t+5=0,\quad t=1;5. \] Тогда \(x=0\) или \(x=1\).
\(64^x-8^x-56=0\). Пусть \(t=8^x>0\), тогда \(64^x=t^2\): \[ t^2-t-56=0,\quad t=8;-7. \] Корень \(-7\) не подходит, так как \(8^x>0\). Остаётся \(8^x=8\), откуда \(x=1\).
214
\(3^{x^2+x-12}=1=3^0\). Значит, \[ x^2+x-12=0, \] откуда \(x=3\) или \(x=-4\).
\(2^{x^2+17x+16}=1=2^0\). Значит, \[ x^2+17x+16=0, \] откуда \(x=-1\) или \(x=-16\).
\(2^{x^2-2}=4=2^2\). Тогда \[ x^2-2=2,\quad x^2=4,\quad x=\pm2. \]
\(0{,}5^{x/2}=4^{x+1}\). Так как \(0{,}5=2^{-1}\), а \(4=2^2\), получаем: \[ 2^{-x/2}=2^{2x+2}. \] Приравниваем показатели: \[ -\frac x2=2x+2. \] Умножим на \(2\): \[ -x=4x+4,\quad -5x=4,\quad x=-\frac45. \]
Проверка: в 213 отрицательный корень \(t=-7\) отброшен из-за условия \(t>0\); остальные корни при подстановке обращают уравнения в верные равенства.
