Задание 1. На отрезке AB длиной 32 см отмечена точка C. Отрезок AC в 3 раза длиннее отрезка CB.

Краткие ответы

1. \(AC=24\) см, \(CB=8\) см.
2. \(\angle AOB=82^\circ\).
3. \(65^\circ\).
4. \(MP=28\) см.
5. \(50^\circ,\ 50^\circ,\ 130^\circ,\ 130^\circ\).

1) Отрезок \(AB\)

Дано: \(AB=32\) см, \(AC\) в 3 раза длиннее \(CB\).

Решение: пусть \(CB=x\) см, тогда \(AC=3x\) см. Точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), поэтому

\[ AC+CB=AB \]

\[ 3x+x=32 \]

\[ 4x=32,\quad x=8 \]

Значит,

\[ CB=8\text{ см},\qquad AC=3\cdot 8=24\text{ см}. \]

Проверка: \(24+8=32\) см, и \(24\) действительно в 3 раза больше \(8\).

---

2) Биссектриса угла

Дано: \(OK\) — биссектриса \(\angle AOB\), \(\angle AOK=41^\circ\).

Решение: биссектриса делит угол пополам, поэтому

\[ \angle AOK=\angle KOB=41^\circ \]

\[ \angle AOB=41^\circ+41^\circ=82^\circ. \]

Ответ: \(82^\circ\).

---

3) Смежные углы

Дано: один из смежных углов равен \(115^\circ\).

Решение: сумма смежных углов равна \(180^\circ\), поэтому второй угол:

\[ 180^\circ-115^\circ=65^\circ. \]

Проверка: \(115^\circ+65^\circ=180^\circ\).

Ответ: \(65^\circ\).

---

4) Отрезок с серединой

Дано: \(MN=40\) см, \(MK=16\) см, \(P\) — середина \(KN\).

Решение: сначала найдём \(KN\):

\[ KN=MN-MK=40-16=24\text{ см}. \]

Так как \(P\) — середина \(KN\),

\[ KP=PN=12\text{ см}. \]

Тогда

\[ MP=MK+KP=16+12=28\text{ см}. \]

Проверка: \(MP+PN=28+12=40\) см.

Ответ: \(28\) см.

---

5) Углы при пересечении двух прямых

Дано: при пересечении двух прямых сумма двух углов равна \(100^\circ\).

Решение: если бы эти два угла были смежными, их сумма была бы \(180^\circ\), а не \(100^\circ\). Значит, эти углы не смежные, а вертикальные.

Вертикальные углы равны, поэтому каждый из них:

\[ 100^\circ:2=50^\circ. \]

Два других угла смежны с углами по \(50^\circ\), значит, каждый из них равен:

\[ 180^\circ-50^\circ=130^\circ. \]

Итак, четыре угла: \(50^\circ,\ 50^\circ,\ 130^\circ,\ 130^\circ\).

Проверка: \(50^\circ+50^\circ+130^\circ+130^\circ=360^\circ\).

Главное: смежные углы в сумме дают \(180^\circ\), вертикальные равны; при делении отрезка в отношении удобно вводить \(x\).