Контрольная работа. Функции и их свойства
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа. Функции и их свойства Вариант 3
- Дана функция \(y = -3x - 4\). При каких значениях аргумента \(f(x) = 0\), \(f(x) < 0\), \(f(x) > 0\)? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
- Найдите область определения функции:
- \(y = \sqrt{3 - 5x}\); 2) \(y = \frac{1}{2x^{2} - 10x + 12}\).
- Постройте график функции \(y = -x^{2} - 6x + 7\). С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.
- Каждый график соотнесите с соответствующей формулой [Рисунок: шесть графиков в панелях А, Б, В, Г, Д, Е на координатных плоскостях; в А — гипербола, в Б — возрастающая кривая, начинающаяся в начале координат и идущая вправо, в В — возрастающая кривая, проходящая через начало координат, в Г — график в виде угла с вершиной в начале координат, в Д — парабола ветвями вниз, в Е — гипербола]
- \(y = \sqrt{x}\); 2) \(y = |x|\); 3) \(y = -\frac{1}{x}\); 4) \(y = x^{2}\); 5) \(y = x^{3}\); 6) \(y = \frac{1}{x}\); 7) \(y = -x^{2}\) Ответ: [Таблица: А, Б, В, Г, Д, Е; строки для ответа пустые]
- Известно, что графики функций \(y = x^{2} + p\) и \(y = -2x - 2\) имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат. [Рисунок: в одной системе координат парабола \(y = x^{2} - 1\) и прямая \(y = -2x - 2\); отмечены точки \((-1, 0)\), \((1, 0)\), \((0, -1)\), \((0, -2)\)]
- Найдите все значения k, при каждом из которых прямая \(y = kx\) имеет с графиком функции \(y = -x^{2} - 6.25\) ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые. [Рисунок: парабола \(y = -x^{2} - \frac{25}{4}\), прямые \(y = 5x\) и \(y = -5x\); отмечены \(x = -\frac{5}{2}\), \(x = \frac{5}{2}\), \(y = -\frac{25}{2}\), вершина \((0, -\frac{25}{4})\)]
Ниже — весь вариант 3; внизу фото есть ещё одно задание №5, его тоже разобрал.
Краткие ответы
- \(f(x)=0\) при \(x=-\frac43\); \(f(x)>0\) при \(x<-\frac43\); \(f(x)<0\) при \(x>-\frac43\). Функция убывает.
- \(D(y)=\left(-\infty;\frac35\right]\); 2) \(D(y)=\mathbb R\setminus\{2;3\}\).
- \(y=16-(x+3)^2\). Вершина \((-3;16)\), нули \(-7\) и \(1\), область значений \((-\infty;16]\), максимум \(16\), минимума нет.
- Таблица: А—3, Б—1, В—5, Г—2, Д—7, Е—6. Формула 4 не использована.
- \(p=-1\), общая точка \((-1;0)\). Дополнительное №5: \(k=\pm5\), точки касания \(\left(-\frac52;-\frac{25}{2}\right)\) и \(\left(\frac52;-\frac{25}{2}\right)\).
Подробно
1
\[ -3x-4=0 \Rightarrow x=-\frac43. \] \[ -3x-4>0 \Rightarrow -3x>4 \Rightarrow x<-\frac43, \] \[ -3x-4<0 \Rightarrow x>-\frac43. \] Угловой коэффициент \(-3<0\), поэтому линейная функция убывает на всей области определения.
2
Подкоренное выражение неотрицательно: \[ 3-5x\ge0 \Rightarrow x\le\frac35. \] Значит, \(D(y)=\left(-\infty;\frac35\right]\).
Знаменатель не равен нулю: \[ 2x^2-10x+12=2(x-2)(x-3)\ne0. \] Поэтому \(x\ne2\), \(x\ne3\): \[ D(y)=(-\infty;2)\cup(2;3)\cup(3;+\infty). \]
3
Выделим полный квадрат: \[ y=-x^2-6x+7=-(x+3)^2+16. \] График — парабола ветвями вниз, вершина \((-3;16)\).
а) Область определения: \(\mathbb R\); область значений: \((-\infty;16]\).
б) Нули функции: \[ -x^2-6x+7=0 \Rightarrow x^2+6x-7=0 \Rightarrow (x+7)(x-1)=0. \] Нули: \(x=-7\), \(x=1\).
в) Так как ветви вниз: \[ y>0 \text{ при } x\in(-7;1), \] \[ y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-7)\cup(1;+\infty). \]
г) Функция возрастает при \(x\le-3\), убывает при \(x\ge-3\).
д) Наибольшее значение: \[ y_{\max}=16 \text{ при } x=-3. \] Наименьшего значения нет, так как ветви параболы уходят вниз.
Для построения: вершина \((-3;16)\), нули \((-7;0)\) и \((1;0)\), ось симметрии \(x=-3\). Можно взять ещё точки \((0;7)\) и \((-6;7)\).
4
Соотнесение по форме графиков:
| А | Б | В | Г | Д | Е |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 5 | 2 | 7 | 6 |
Кратко почему:
- \(\sqrt{x}\) существует только при \(x\ge0\) — график Б;
- \(|x|\) даёт «угол» — график Г;
- \(-\frac1x\) имеет ветви во II и IV четвертях — график А;
- \(x^3\) проходит через начало координат и возрастает — график В;
- \(\frac1x\) имеет ветви в I и III четвертях — график Е;
- \(-x^2\) — парабола ветвями вниз — график Д.
- \(y=x^2\) среди данных графиков нет.
5
Приравняем функции: \[ x^2+p=-2x-2. \] \[ x^2+2x+(p+2)=0. \] Ровно одна общая точка означает, что квадратное уравнение имеет один корень, то есть дискриминант равен нулю: \[ D=4-4(p+2)=0, \] \[ 4-4p-8=0 \Rightarrow -4p-4=0 \Rightarrow p=-1. \] Тогда \[ x^2+2x+1=0 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1. \] \[ y=-2(-1)-2=0. \] Ответ: \(p=-1\), общая точка \((-1;0)\).
Строим параболу \(y=x^2-1\) с вершиной \((0;-1)\) и нулями \((-1;0)\), \((1;0)\), а также прямую \(y=-2x-2\), проходящую через \((0;-2)\) и \((-1;0)\). Они касаются в точке \((-1;0)\).
Дополнительное №5
Нужно, чтобы прямая \(y=kx\) и парабола \(y=-x^2-25/4\) имели ровно одну общую точку: \[ -x^2-\frac{25}{4}=kx. \] \[ x^2+kx+\frac{25}{4}=0. \] Один корень: \[ D=k^2-4\cdot\frac{25}{4}=k^2-25=0. \] \[ k=\pm5. \]
При \(k=5\): \[ x^2+5x+\frac{25}{4}=\left(x+\frac52\right)^2=0, \] точка касания: \[ \left(-\frac52;-\frac{25}{2}\right). \]
При \(k=-5\): \[ x^2-5x+\frac{25}{4}=\left(x-\frac52\right)^2=0, \] точка касания: \[ \left(\frac52;-\frac{25}{2}\right). \]
График параболы \(y=-x^2-\frac{25}{4}\): ветви вниз, вершина \(\left(0;-\frac{25}{4}\right)\). Прямые \(y=5x\) и \(y=-5x\) проходят через начало координат и касаются параболы в указанных точках.
