Реши задание на изображении
Ответ: в 5 раз больше.
Ускорение свободного падения на поверхности планеты:
\[ g=\frac{GM}{R^2} \]
Масса планеты:
\[ M=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \]
Поэтому:
\[ g=\frac{G\cdot \rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} =\frac{4}{3}\pi G\rho R \]
То есть \(g\) пропорционально произведению плотности на радиус:
\[ g\sim \rho R \]
Для планеты:
\[ R_{\text{п}}=10R_{\text{З}}, \qquad \rho_{\text{п}}=\frac{1}{2}\rho_{\text{З}} \]
Тогда:
\[ \frac{g_{\text{п}}}{g_{\text{З}}} = \frac{\rho_{\text{п}}R_{\text{п}}}{\rho_{\text{З}}R_{\text{З}}} = \frac{1}{2}\cdot 10=5 \]
Проверка через массу: масса планеты больше в
\[ \frac{1}{2}\cdot 10^3=500 \]
раз, а радиус — в 10 раз. Поэтому:
\[ \frac{g_{\text{п}}}{g_{\text{З}}} = \frac{500}{10^2}=5 \]
Значит, ускорение свободного падения на поверхности этой планеты в 5 раз больше, чем на Земле.
Обсуждение
7 сообщений294 реши
294 реши
Ответ: \(v\approx 6{,}4\) км/с, или \(6400\) м/с.
Решение.
Спутник движется по окружности радиуса
\[ r=R+h, \]
где \(R=6400\) км — радиус Земли, \(h=3600\) км — высота орбиты. Тогда
\[ r=6400+3600=10000\text{ км}=10^7\text{ м}. \]
Центростремительное ускорение спутнику сообщает сила тяжести:
\[ \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}. \]
Отсюда
\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]
У поверхности Земли \(g=\dfrac{GM}{R^2}\), поэтому \(GM=gR^2\). Значит,
\[ v=\sqrt{\frac{gR^2}{r}}. \]
Подставляем данные:
\[ v=\sqrt{\frac{10\cdot(6{,}4\cdot10^6)^2}{10^7}} =6{,}4\cdot10^3\ \text{м/с}. \]
\[ \boxed{v=6400\ \text{м/с}\approx 6{,}4\ \text{км/с}} \]
То есть спутник на высоте \(3600\) км должен двигаться со скоростью примерно 6,4 км/с.
Реши 296
Ответ: \(g\approx 13\) м/с².
Решение.
На круговой орбите сила тяжести сообщает кораблю центростремительное ускорение:
\[ \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}. \]
Отсюда
\[ GM=v^2 r. \]
Ускорение свободного падения на поверхности планеты:
\[ g=\frac{GM}{R^2}=\frac{v^2 r}{R^2}. \]
Подставляем данные: \(v=10\) км/с, \(r=13000\) км, \(R=10000\) км.
\[ g=\frac{10^2\cdot 13000}{10000^2} =\frac{1\,300\,000}{100\,000\,000} =0{,}013\ \text{км/с}^2. \]
Переводим в м/с²:
\[ 0{,}013\ \text{км/с}^2=13\ \text{м/с}^2. \]
\[ \boxed{g\approx 13\ \text{м/с}^2} \]
Для сравнения: на Земле \(g\approx 9{,}8\) м/с², то есть на этой планете тяжесть немного больше земной.
Какую формулу ты взял в первом действии
В первом действии использовано условие движения по круговой орбите: сила тяжести сообщает кораблю центростремительное ускорение.
Центростремительное ускорение:
\[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{r} \]
Ускорение, создаваемое тяготением на расстоянии \(r\) от центра планеты:
\[ a_{\text{т}}=\frac{GM}{r^2} \]
Для круговой орбиты они равны:
\[ \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2} \]
Отсюда:
\[ GM=v^2r \]
А затем уже для поверхности планеты радиусом \(R\):
\[ g=\frac{GM}{R^2}=\frac{v^2r}{R^2} \]
Здесь \(r=13000\) км — радиус орбиты, \(R=10000\) км — радиус планеты.
