Теория по окружностям 5 класс
Кратко
Окружность — это замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра. Круг — это окружность вместе со всей областью внутри неё.
Главные элементы: центр \(O\), радиус \(r\), диаметр \(d\), хорда, дуга.
Ключевые связи: \[d = 2r, \qquad r = \frac{d}{2}, \qquad C = \pi d = 2\pi r, \qquad S = \pi r^{2}, \qquad \pi \approx 3{,}14\]
где \(C\) — длина окружности, \(S\) — площадь круга.
Элементы окружности
| Понятие | Что это | Свойство |
|---|---|---|
| Центр \(O\) | точка, от которой равноудалены все точки окружности | не лежит на самой окружности |
| Радиус \(r\) | отрезок от центра до точки окружности | все радиусы одной окружности равны |
| Диаметр \(d\) | отрезок через центр, соединяющий две точки окружности | самый длинный; \(d = 2r\) |
| Хорда | отрезок, соединяющий любые две точки окружности | диаметр — частный случай хорды |
| Дуга | часть окружности между двумя точками | две точки делят окружность на две дуги |
Важно не путать: окружность — это только граница (линия), а круг — граница вместе с внутренней областью. Поэтому у окружности есть длина, а у круга — площадь.
Как построить окружность радиуса 3 см
- Ставим иглу циркуля в точку \(O\) — это центр.
- Раствор циркуля (расстояние между иглой и грифелем) делаем равным 3 см — это радиус.
- Проводим замкнутую линию, не сдвигая иглу.
Проверка: диаметр построенной окружности \(d = 2 \cdot 3 = 6\) см, длина \(C \approx 3{,}14 \cdot 6 = 18{,}84\) см, площадь круга \(S \approx 3{,}14 \cdot 3^{2} = 28{,}26\) см².
Как решать типовые задачи
- Дан радиус — найти диаметр: умножить на 2.
- Дан диаметр — найти радиус: разделить на 2.
- Найти длину окружности: \(C = \pi d\), подставляем диаметр (если дан радиус — сначала удваиваем его).
- Найти площадь круга: \(S = \pi r^{2}\), то есть радиус умножаем сам на себя, а потом на \(3{,}14\).
- Обратная задача: если известна длина \(C\), то \(d = C : \pi\), а \(r = d : 2\).
Пример. Диаметр колеса 40 см. Тогда \(r = 20\) см, \(C \approx 3{,}14 \cdot 40 = 125{,}6\) см, \(S \approx 3{,}14 \cdot 400 = 1256\) см².
Частая ошибка
В формуле площади в квадрат возводят радиус, а не диаметр, и не умножают радиус на 2 вместо возведения в квадрат: \(S = \pi r^{2}\), а не \(\pi \cdot 2r\).
