294 реши
Ответ: скорость спутника должна быть примерно \(6{,}4\) км/с, то есть \(6400\) м/с.
Как это получается
Спутник движется по окружности радиуса
\[ r=R+h, \]
где \(R=6400\) км — радиус Земли, \(h=3600\) км — высота орбиты. Значит,
\[ r=6400+3600=10000\text{ км}=10^7\text{ м}. \]
Сила притяжения сообщает спутнику центростремительное ускорение:
\[ \frac{GmM}{r^2}=\frac{mv^2}{r}. \]
Отсюда
\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]
На поверхности Земли \(g=\frac{GM}{R^2}\), поэтому \(GM=gR^2\). Тогда
\[ v=\sqrt{\frac{gR^2}{R+h}}. \]
Подставляем данные:
\[ v=\sqrt{\frac{10\cdot(6{,}4\cdot10^6)^2}{10^7}} =6{,}4\cdot10^3\text{ м/с} =6{,}4\text{ км/с}. \]
Проверка: на высоте \(3600\) км ускорение свободного падения равно
\[ g_h=g\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 =10\left(\frac{6400}{10000}\right)^2 \approx4{,}096\text{ м/с}^2, \]
тогда
\[ v=\sqrt{g_h r} =\sqrt{4{,}096\cdot10^7} \approx6400\text{ м/с}. \]
Главное в похожих задачах: радиус орбиты — это \(R+h\), а не просто \(h\).
Обсуждение
8 сообщенийРеши 296
Ответ: ускорение свободного падения на поверхности планеты примерно \(13\ \text{м/с}^2\), то есть \(1{,}3g\).
Решение
Для корабля на круговой орбите:
\[ \frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r}, \]
поэтому
\[ GM=v^2r. \]
На поверхности планеты радиусом \(R\):
\[ g=\frac{GM}{R^2}=\frac{v^2r}{R^2}. \]
Переведём данные в СИ:
\[ v=10\ \text{км/с}=10^4\ \text{м/с}, \] \[ r=13000\ \text{км}=1{,}3\cdot10^7\ \text{м}, \] \[ R=10000\ \text{км}=10^7\ \text{м}. \]
Подставляем:
\[ g=\frac{(10^4)^2\cdot1{,}3\cdot10^7}{(10^7)^2} =\frac{1{,}3\cdot10^{15}}{10^{14}} =13\ \text{м/с}^2. \]
Проверка: \(13\ \text{м/с}^2\) примерно в \(1{,}3\) раза больше земного \(g\approx9{,}8\ \text{м/с}^2\), что соответствует отношению радиусов орбиты и планеты \(13000:10000=1{,}3\).
Перепроверь данные
Я перепроверил данные по фото — они совпадают с условием:
- радиус круговой орбиты: \(r=13000\ \text{км}=1{,}3\cdot10^7\ \text{м}\);
- скорость корабля: \(v=10\ \text{км/с}=10^4\ \text{м/с}\);
- радиус планеты: \(R=10000\ \text{км}=10^7\ \text{м}\).
Здесь важно: \(13000\) км — это уже радиус орбиты от центра планеты, а не высота над поверхностью.
\[ g=\frac{v^2r}{R^2} =\frac{(10^4)^2\cdot1{,}3\cdot10^7}{(10^7)^2} =13\ \text{м/с}^2. \]
Ответ остаётся: \(g\approx13\ \text{м/с}^2\). Ошибки в предыдущем решении нет.
Замени большую р на маленькую
Понял: теперь радиус планеты обозначаю маленькой \(r\), а радиус орбиты — большой \(R\).
Тогда:
\[ \frac{GM}{R^2}=\frac{v^2}{R} \quad\Rightarrow\quad GM=v^2R, \]
\[ g=\frac{GM}{r^2} =\frac{v^2R}{r^2}. \]
Подставляем:
\[ v=10^4\ \text{м/с},\qquad R=1{,}3\cdot10^7\ \text{м},\qquad r=10^7\ \text{м}. \]
\[ g=\frac{(10^4)^2\cdot1{,}3\cdot10^7}{(10^7)^2} =13\ \text{м/с}^2. \]
Ответ: \(g\approx13\ \text{м/с}^2\).
Реши 299
