ОДЗ
Сверь числа и знаки с фото.
[обрезано]ешите уравнение.
\(\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=0\);
\(\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=0\);
\(\frac{x+7}{x-7}-\frac{2x-3}{x-7}=0\);
\(\frac{10-3x}{x+8}+\frac{5x+6}{x+8}=0\);
\(\frac{x-6}{x-2}-\frac{x-8}{x}=0\);
\(\frac{2x-4}{x}-\frac{3x+1}{x}+\frac{x+5}{x}=0\);
\(\frac{x}{x+6}-\frac{36}{x^2+6x}=0\);
\(\frac{2x^2+3x+1}{2x+1}-x=1\);
\(\frac{4}{x-1}-\frac{4}{x+1}=1\).
Кратко: ОДЗ каждого уравнения
| № | ОДЗ |
|---|---|
| 1 | \(x\ne1\), то есть \((-\infty;1)\cup(1;+\infty)\) |
| 2 | \(x\ne-1,\ x\ne1\) |
| 3 | \(x\ne7\) |
| 4 | \(x\ne-8\) |
| 5 | \(x\ne0,\ x\ne2\) |
| 6 | \(x\ne0\) |
| 7 | \(x\ne-6,\ x\ne0\) |
| 8 | \(x\ne-\frac{1}{2}\) |
| 9 | \(x\ne-1,\ x\ne1\) |
Почему так
ОДЗ — это все значения \(x\), при которых выражение имеет смысл. В этих уравнениях нет корней и логарифмов, есть только дроби, поэтому действует одно правило:
\[ \text{знаменатель}\ne0. \]
Числитель быть нулём может — именно так и появляются корни уравнения.
Алгоритм:
- Выписать каждый знаменатель.
- Решить вспомогательные уравнения «знаменатель \(=0\)».
- Исключить найденные числа из множества всех чисел.
Разбор примеров
№1. Знаменатель: \[ x^2-2x+1=(x-1)^2. \] Он равен нулю только при \(x=1\), поэтому \(x\ne1\). При этом \(x=-1\) допустим: числитель \(x^2-1\) там равен нулю, а знаменатель — нет. Значит, \(x=-1\) может быть корнем, а \(x=1\) — нет.
№7. Второй знаменатель раскладывается: \[ x^2+6x=x(x+6). \] Первый знаменатель \(x+6\) и второй \(x(x+6)\) обращаются в нуль при \(x=-6\) и \(x=0\). Поэтому \(x\ne-6\), \(x\ne0\).
№9. Два разных знаменателя: \[ x-1\ne0,\qquad x+1\ne0, \] отсюда \(x\ne1,\ x\ne-1\).
Проверка
Подставь исключённые числа в знаменатели:
- в №4 при \(x=-8\): \(x+8=0\);
- в №5 при \(x=0\): знаменатель \(x=0\), при \(x=2\): \(x-2=0\);
- в №8 при \(x=-\frac12\): \(2x+1=0\).
Во всех случаях получается деление на нуль, поэтому эти значения действительно не входят в ОДЗ. Других ограничений нет: остальные знаменатели — многочлены первой или второй степени, и их корни мы уже учли.
Зачем это нужно при решении
После решения дробного уравнения найденные корни надо сверить с ОДЗ.
Например, в №2: \[ \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}=0. \] Числитель равен нулю при \(x=1\), но \(x=1\) не входит в ОДЗ, поэтому уравнение №2 не имеет корней.
А в №3: \[ \frac{x+7-(2x-3)}{x-7}=0 \Rightarrow \frac{10-x}{x-7}=0 \Rightarrow x=10. \] ОДЗ здесь \(x\ne7\), а \(10\ne7\), значит, \(x=10\) — настоящий корень.
