реши 401 и 409 задание

Question

Расшифровка фото нейросетью:
401 Найдите координаты проекций точек $A(2; -3; 5)$, $B\left(3; -5; \frac{1}{2}\right)$ и $C\left(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{5}-\sqrt{3}\right)$ на: а) координатные плоскости $Oxy$, $Oyz$ и $Oxz$; б) оси координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$.
409 Даны векторы $\vec a\{5; -1; 1\}$, $\vec b\{-2; 1; 0\}$, $\vec c\{0; 0{,}2; 0\}$ и $\vec d\left\{-\frac{1}{3}; 2\frac{2}{5}; -\frac{1}{7}\right\}$. Найдите координаты векторов: а) $\vec a-\vec b$; б) $\vec b-\vec a$; в) $\vec b+\vec c$; г) $\vec d+\vec b$; д) $\vec a-\vec c$; е) $\vec d-\vec a$; ж) $\vec a-\vec b-\vec c$; з) $2\vec a$; и) $-3\vec b$; к) $-6\vec c$; л) $-\frac{1}{3}\vec d$; м) $0{,}2\vec b$.

Answer

401.
Правило: при проекции на плоскость координата, перпендикулярная этой плоскости, становится нулевой. При проекции на ось остаётся только координата этой оси:

$$
\Pi_{Oxy}(x,y,z)=(x,y,0),\quad
\Pi_{Oyz}(x,y,z)=(0,y,z),\quad
\Pi_{Oxz}(x,y,z)=(x,0,z),
$$
$$
\Pi_{Ox}(x,y,z)=(x,0,0),\quad
\Pi_{Oy}(x,y,z)=(0,y,0),\quad
\Pi_{Oz}(x,y,z)=(0,0,z).
$$

Проекции на плоскости:

Точка |
$Oxy$ |
$Oyz$ |
$Oxz$ |

$A(2;-3;5)$ |
$(2;-3;0)$ |
$(0;-3;5)$ |
$(2;0;5)$ |

$B\left(3;-5;\frac12\right)$ |
$\left(3;-5;0\right)$ |
$\left(0;-5;\frac12\right)$ |
$\left(3;0;\frac12\right)$ |

$C\left(-\sqrt3;-\frac{\sqrt2}{2};\sqrt5-\sqrt3\right)$ |
$\left(-\sqrt3;-\frac{\sqrt2}{2};0\right)$ |
$\left(0;-\frac{\sqrt2}{2};\sqrt5-\sqrt3\right)$ |
$\left(-\sqrt3;0;\sqrt5-\sqrt3\right)$ |

Проекции на оси:

Точка |
$Ox$ |
$Oy$ |
$Oz$ |

$A$ |
$(2;0;0)$ |
$(0;-3;0)$ |
$(0;0;5)$ |

$B$ |
$\left(3;0;0\right)$ |
$\left(0;-5;0\right)$ |
$\left(0;0;\frac12\right)$ |

$C$ |
$\left(-\sqrt3;0;0\right)$ |
$\left(0;-\frac{\sqrt2}{2};0\right)$ |
$\left(0;0;\sqrt5-\sqrt3\right)$ |

409.
Векторы складывают и вычитают покомпонентно, а при умножении на число каждый компонент умножается на это число.

Дано:
$$
\vec a=(5;-1;1),\quad \vec b=(-2;1;0),\quad \vec c=(0;0{,}2;0)=(0;\tfrac15;0),
$$
$$
\vec d=\left(-\frac13;2\frac25;-\frac17\right)=\left(-\frac13;\frac{12}{5};-\frac17\right).
$$

Ответы:

а) $\vec a-\vec b=(7;-2;1)$;

б) $\vec b-\vec a=(-7;2;-1)$;

в) $\vec b+\vec c=\left(-2;\frac65;0\right)$;

г) $\vec d+\vec b=\left(-\frac73;\frac{17}{5};-\frac17\right)$;

д) $\vec a-\vec c=\left(5;-\frac65;1\right)$;

е) $\vec d-\vec a=\left(-\frac{16}{3};\frac{17}{5};-\frac87\right)$;

ж) $\vec a-\vec b-\vec c=\left(7;-\frac{11}{5};1\right)$;

з) $2\vec a=(10;-2;2)$;

и) $-3\vec b=(6;-3;0)$;

к) $-6\vec c=\left(0;-\frac65;0\right)$;

л) $-\frac13\vec d=\left(\frac19;-\frac45;\frac1{21}\right)$;

м) $0{,}2\vec b=\left(-\frac25;\frac15;0\right)$.

Проверка: например, $\vec b-\vec a=-(\vec a-\vec b)$, а $\vec a-\vec b-\vec c=(\vec a-\vec b)-\vec c$. Это подтверждает знаки и порядок действий.

Точка	\(Oxy\)	\(Oyz\)	\(Oxz\)
\(A(2;-3;5)\)	\((2;-3;0)\)	\((0;-3;5)\)	\((2;0;5)\)
\(B\left(3;-5;\frac12\right)\)	\(\left(3;-5;0\right)\)	\(\left(0;-5;\frac12\right)\)	\(\left(3;0;\frac12\right)\)
\(C\left(-\sqrt3;-\frac{\sqrt2}{2};\sqrt5-\sqrt3\right)\)	\(\left(-\sqrt3;-\frac{\sqrt2}{2};0\right)\)	\(\left(0;-\frac{\sqrt2}{2};\sqrt5-\sqrt3\right)\)	\(\left(-\sqrt3;0;\sqrt5-\sqrt3\right)\)

Точка	\(Ox\)	\(Oy\)	\(Oz\)
\(A\)	\((2;0;0)\)	\((0;-3;0)\)	\((0;0;5)\)
\(B\)	\(\left(3;0;0\right)\)	\(\left(0;-5;0\right)\)	\(\left(0;0;\frac12\right)\)
\(C\)	\(\left(-\sqrt3;0;0\right)\)	\(\left(0;-\frac{\sqrt2}{2};0\right)\)	\(\left(0;0;\sqrt5-\sqrt3\right)\)