√(2x+3)+√(x+1)=3x+2√(2x²+5x+3)−16.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
\[\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16.\]
Ответ: \(x=3\).
На фото несколько строк; ниже — решение центрального полностью видимого уравнения: \[ \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16. \]
ОДЗ: \[ x\ge -1. \]
Обозначим \[ a=\sqrt{2x+3},\qquad b=\sqrt{x+1}. \] Тогда \[ a^2=2x+3,\quad b^2=x+1, \] поэтому \[ a^2+b^2=3x+4,\qquad ab=\sqrt{(2x+3)(x+1)}=\sqrt{2x^2+5x+3}. \]
Перепишем уравнение через \(a\) и \(b\): \[ a+b=3x+2ab-16. \] Так как \(3x=a^2+b^2-4\), получаем: \[ a+b=a^2+b^2-4+2ab-16=(a+b)^2-20. \]
Пусть \(t=a+b\). Тогда \[ t=t^2-20, \] \[ t^2-t-20=0, \] \[ (t-5)(t+4)=0. \] Так как \(t=a+b\ge0\), подходит только \[ t=5. \]
Значит, \[ \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5. \] Положим \(y=\sqrt{x+1}\ge0\), тогда \(x=y^2-1\), а \[ \sqrt{2x+3}=\sqrt{2y^2+1}. \] Получаем: \[ \sqrt{2y^2+1}+y=5, \] \[ \sqrt{2y^2+1}=5-y. \] Возводим в квадрат: \[ 2y^2+1=25-10y+y^2, \] \[ y^2+10y-24=0, \] \[ (y+12)(y-2)=0. \] Так как \(y\ge0\), то \(y=2\). Тогда \[ x=y^2-1=4-1=3. \]
Проверка: \[ \sqrt{2\cdot3+3}+\sqrt{3+1}=\sqrt9+\sqrt4=3+2=5, \] \[ 3\cdot3+2\sqrt{2\cdot9+5\cdot3+3}-16= 9+2\sqrt{36}-16=9+12-16=5. \] Всё сходится.
Обсуждение
4 сообщенияОткуда 3х,как и почему мы так его выразили
Это не отдельное выражение \(3x\) из уравнения, а замена через \(a\) и \(b\).
Мы обозначили \[ a=\sqrt{2x+3},\qquad b=\sqrt{x+1}. \] Тогда \[ a^2=2x+3,\qquad b^2=x+1. \] Складываем эти равенства: \[ a^2+b^2=(2x+3)+(x+1)=3x+4. \] Отсюда \[ 3x=a^2+b^2-4. \]
То есть \(3x\) мы выразили не через \(x\), а через \(a\) и \(b\), чтобы подставить в исходное уравнение.
Кроме того, \[ ab=\sqrt{(2x+3)(x+1)} =\sqrt{2x^2+5x+3}. \] Значит, \[ 2\sqrt{2x^2+5x+3}=2ab. \]
Теперь подставляем всё в правую часть: \[ 3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16 \] \[ =(a^2+b^2-4)+2ab-16 \] \[ =a^2+2ab+b^2-20 \] \[ =(a+b)^2-20. \]
Поэтому исходное уравнение превращается в \[ a+b=(a+b)^2-20. \]
Смысл замены в том, что было две разные «неудобные» части с корнями, а после подстановки всё свелось к одной величине \(a+b\).
Почему t больше или равно нуля
Потому что \[ t=a+b, \] где \[ a=\sqrt{2x+3},\qquad b=\sqrt{x+1}. \] А арифметический квадратный корень по определению неотрицателен: \[ \sqrt{2x+3}\ge 0,\qquad \sqrt{x+1}\ge 0. \] Значит, и их сумма \[ t=a+b\ge 0. \]
Поэтому из уравнения \[ t^2-t-20=0 \] корни \(t=5\) и \(t=-4\), но \(t=-4\) не подходит: сумма двух квадратных корней не может быть отрицательной.
Остаётся \(t=5\), то есть \[ \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5. \]
