Найдите производную функции косинус (икс в третьей)

Краткий ответ: \[ \left(\cos(x^3)\right)'=-3x^2\sin(x^3). \]

Как это получить:

1. Функция сложная: снаружи косинус, внутри степень. \[ y=\cos u,\qquad u=x^3. \]

2. Производная косинуса: \[ (\cos u)'=-\sin u. \]

3. Производная внутренней функции: \[ (x^3)'=3x^2. \]

4. По правилу производной сложной функции умножаем: \[ y'=-\sin(x^3)\cdot 3x^2=-3x^2\sin(x^3). \]

Проверка по смыслу: при \(x=0\) производная равна \(0\), и это ожидаемо, потому что в нуле \(y=\cos(x^3)\) имеет максимум.