Сделай номера 2 и 1 и нарисуй рисунок

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Задание 1.
На рисунке $PC = CT$, $MC = CN$, $\angle M = \angle N$.
Докажите, что треугольники $NTM$ и $MPN$ равны.
[Рисунок: треугольник $KMN$ с вершиной $K$ вверху; точка $P$ на стороне $KM$, точка $T$ на стороне $KN$; отрезки $MT$ и $PN$ пересекаются в точке $C$; отмечены равные отрезки $PC = CT$, $MC = CN$ и равные углы при вершинах $M$ и $N$.]

Задание 2.
Дано: $\angle MSD = \angle SMW$, $\angle SMD = \angle MSW$.
Доказать: $\angle D = \angle W$
(Обязательно сделать полное оформление: чертеж, дано, доказать, доказательство).
[Рисунок: четырёхугольник $DSWM$ с диагональю $MS$; вершина $D$ слева, $S$ вверху справа, $W$ справа, $M$ внизу слева; отмечены равные углы $\angle MSD = \angle SMW$ и $\angle SMD = \angle MSW$.]

Answer

Кратко: в №1 треугольники равны по первому признаку (две стороны и угол между ними), в №2 — по второму признаку (сторона и два прилежащих угла). Ниже — полное оформление и построение чертежей.

Задание 1

Дано: $P \in MK$, $T \in KN$, $PC = CT$, $MC = CN$, $\angle M = \angle N$.
Доказать: $\triangle NTM = \triangle MPN$.

Доказательство:

1. $\angle PCM = \angle TCN$ — вертикальные углы (прямые $PN$ и $MT$ пересекаются в точке $C$).

2. В треугольниках $PMC$ и $NTC$:
$$
PC = CT,\qquad MC = CN,\qquad \angle PCM = \angle TCN.
$$
По первому признаку $\triangle PMC = \triangle NTC$. Значит, $PM = TN$.

3. В треугольниках $MPN$ и $NTM$:
$PM = TN$ (из п. 2);

$MN$ — общая сторона;

$\angle PMN = \angle TNM$: так как $P$ лежит на $MK$, то $\angle PMN = \angle KMN = \angle M$; так как $T$ лежит на $KN$, то $\angle TNM = \angle KNM = \angle N$; а $\angle M = \angle N$ по условию.

4. По первому признаку $\triangle MPN = \triangle NTM$.

Что и требовалось доказать.

Идея: равные отрезки $PC$, $CT$, $MC$, $CN$ не являются сторонами больших треугольников. Поэтому сначала доказываем равенство «маленьких» треугольников $PMC$ и $NTC$, а затем используем появившуюся равную сторону $PM = TN$.

Задание 2

Чертёж:

D
/ \
/ \
M-----S
\ /
\ /
W

Дано: $\angle MSD = \angle SMW$, $\angle SMD = \angle MSW$.
Доказать: $\angle D = \angle W$.

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle MSD$ и $\triangle SMW$.

2. Сторона $MS$ — общая.

3. К стороне $MS$ в $\triangle MSD$ прилежат углы $\angle SMD$ и $\angle MSD$, а в $\triangle SMW$ — углы $\angle SMW$ и $\angle MSW$.

4. По условию:
$$
\angle SMD = \angle MSW,\qquad \angle MSD = \angle SMW.
$$

5. Значит, $\triangle MSD = \triangle SMW$ по второму признаку (сторона и два прилежащих угла).

6. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол $D$ в $\triangle MSD$ лежит против стороны $MS$, угол $W$ в $\triangle SMW$ — против стороны $SM$. Так как $MS = SM$, то $\angle D = \angle W$.

Что и требовалось доказать.

Проверка: по сумме углов треугольника
$$
\angle D = 180^\circ - \angle SMD - \angle MSD,\qquad
\angle W = 180^\circ - \angle SMW - \angle MSW.
$$
Пары углов равны по условию, поэтому $\angle D = \angle W$.

Важно: треугольники равны «крест-накрест»: $M$ в первом соответствует $S$ во втором, $S$ — $M$, $D$ — $W$. Поэтому $\angle D$ и $\angle W$ — соответственные.

Рисунки

К заданию 1.

1. Начерти $MN = 6$ см.

2. Построй равнобедренный $\triangle KMN$: $K$ — на перпендикуляре к $MN$ через её середину, $KM = KN$.

3. Отметь $P$ — середину $MK$, $T$ — середину $KN$.

4. Проведи $MT$ и $PN$; точку пересечения обозначь $C$.

5. Отметь на чертеже $PC = CT$ (по одной засечке), $MC = CN$ (по две засечки), $\angle M = \angle N$ (одинаковые дуги).

Схема:

K
/ \
P T
/ \ / \
M---C---N

На схеме $C$ — точка пересечения $MT$ и $PN$ (внутри треугольника, выше $MN$).

К заданию 2.

1. Начерти $MS = 7$ см.

2. По одну сторону от $MS$ построй $\angle SMD = 45^\circ$ и $\angle MSD = 60^\circ$; пересечение лучей — $D$.

3. По другую сторону от $MS$ построй $\angle SMW = 60^\circ$ и $\angle MSW = 45^\circ$; пересечение лучей — $W$.

4. Соедини $D$ с $S$ и $M$, $W$ с $S$ и $M$.

5. Отметь $\angle SMD$ и $\angle MSW$ дугами с одной засечкой, $\angle MSD$ и $\angle SMW$ — дугами с двумя засечками.

Схема:

D
/ \
/ \
M-----S
\ /
\ /
W

На схеме $MS$ расположена горизонтально; в тетради можно повторить расположение из учебника, повернув чертёж.

Как понять принцип

Признак — это набор трёх равных элементов. В первом признаке угол обязательно должен лежать между равными сторонами; во втором — оба угла должны быть прилежащими к равной стороне.

Если нужного элемента нет, его добывают из дополнительных равенств: общая сторона, вертикальные углы, равнобедренный треугольник, равенство вспомогательных треугольников.

В №1 ключ — вертикальные углы при $C$ и равенство $\triangle PMC = \triangle NTC$. В №2 ключ — общая сторона $MS$ и правильное сопоставление углов.

Попробуй сам: в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ делит углы $A$ и $C$ пополам. Докажи, что $\triangle ABC = \triangle ADC$. Здесь работает второй признак: $AC$ общая, $\angle BAC = \angle CAD$, $\angle BCA = \angle ACD$.