1120 □ Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами \(R_1\) и \(R_2\), \(R_1<R_2\). Вычислите площадь кольца, если \(R_1 = 1{,}5\) см,…

Краткий ответ: площадь кольца равна

\[ S=4\pi\ \text{см}^2 \approx 12{,}56\ \text{см}^2 \]

(при \(\pi \approx 3{,}14\)).

Кольцо — это внешний круг радиуса \(R_2\) без внутреннего круга радиуса \(R_1\). Поэтому площади вычитаются:

\[ S_{\text{кольца}}=S_{\text{внешнего}}-S_{\text{внутреннего}} \]

\[ S=\pi R_2^2-\pi R_1^2=\pi\left(R_2^2-R_1^2\right). \]

Подставляем значения:

\[ R_2^2-R_1^2=2{,}5^2-1{,}5^2=6{,}25-2{,}25=4, \]

\[ S=4\pi\ \text{см}^2. \]

Проверка через разность квадратов:

\[ R_2^2-R_1^2=(R_2-R_1)(R_2+R_1) =(2{,}5-1{,}5)(2{,}5+1{,}5)=1\cdot4=4. \]

Важно не считать \(\pi(R_2-R_1)^2\): это была бы площадь круга с радиусом, равным разности радиусов, а не площадь кольца.