III вариант. Решить уравнения: 1) p - 1/6 = 5/12 + 2/3 p; 2) 4x - 8 = 4(x - 2) - 4; 3) 9y - 5 = 4y + 25

Краткий ответ

Уравнения:

1. \(p = 1,75\) (или \(\frac{7}{4}\))
2. корней нет
3. \(y = 6\)

Задачи:

1. Доски: 82 см и 96 см.
2. В большей коробке было 26 карандашей.

Ключевые шаги

Общий принцип для линейных уравнений: собери слагаемые с переменной в одной части, числа — в другой, затем раздели на коэффициент при переменной.

1) \[p - \frac{1}{6} = \frac{5}{12} + \frac{2}{3}p\] Переносим \(p\) влево, а \(-\frac{1}{6}\) вправо: \[p - \frac{2}{3}p = \frac{5}{12} + \frac{1}{6}\] \[\frac{1}{3}p = \frac{5}{12} + \frac{2}{12} = \frac{7}{12}\] \[p = \frac{7}{12} \cdot 3 = \frac{7}{4} = 1,75\] Проверка: слева \(\frac{21}{12} - \frac{2}{12} = \frac{19}{12}\); справа \(\frac{5}{12} + \frac{14}{12} = \frac{19}{12}\). Верно.

2) \[4x - 8 = 4(x - 2) - 4\] Раскрываем скобки: \(4(x-2) - 4 = 4x - 8 - 4 = 4x - 12\). Тогда: \[4x - 8 = 4x - 12 \;\Rightarrow\; -8 = -12\] Числовое равенство неверно, а \(x\) сократился. Значит, ни при каком \(x\) равенство не выполняется — корней нет.

3) \[9y - 5 = 4y + 25\] \[9y - 4y = 25 + 5 \;\Rightarrow\; 5y = 30 \;\Rightarrow\; y = 6\] Проверка: \(54 - 5 = 49\) и \(24 + 25 = 49\). Верно.

Как решать задачи через уравнение: обозначаем за \(x\) искомую (или меньшую) величину, вторую выражаем через неё, а затем переводим условие в уравнение.

Задача 1. Пусть меньшая доска \(x\) см, тогда большая \(x + 14\) см: \[x + (x + 14) = 178 \;\Rightarrow\; 2x = 164 \;\Rightarrow\; x = 82\] Вторая доска: \(82 + 14 = 96\) (см). Проверка: \(82 + 96 = 178\), разность 14 см. ✔

Задача 2. Пусть в меньшей коробке \(x\) карандашей, тогда в большей \(x + 16\). После перекладывания 6 карандашей: в большей \(x + 10\), в меньшей \(x + 6\). Условие про 1,25 раза: \[x + 10 = 1,25(x + 6)\] \[x + 10 = 1,25x + 7,5\] \[2,5 = 0,25x \;\Rightarrow\; x = 10\] Значит, в меньшей коробке 10, в большей \(10 + 16 = 26\) карандашей. Проверка: стало 20 и 16, а \(20 : 16 = 1,25\). ✔