Реши задание на изображении

Полностью на фото видна задача 299. Её ответ:

Период обращения первого спутника больше в 9 раз.

Решение

Пусть:

• \(R\) — радиус Земли, \(\rho_{\mathrm{E}}\) — её плотность;
• \(R_{\mathrm{p}}\), \(\rho_{\mathrm{p}}\) — радиус и плотность планеты.

Первый спутник находится на высоте \(2R\), значит радиус его орбиты: \[ r_1=R+2R=3R. \]

Второй спутник движется на малой высоте, поэтому радиус его орбиты примерно равен радиусу планеты: \[ r_2\approx R_{\mathrm{p}}. \]

Для круговой орбиты период: \[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \] а масса планеты: \[ M=\frac43\pi \rho R^3. \]

Тогда: \[ \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \frac{r_1^3}{r_2^3}\cdot \frac{M_{\mathrm{p}}}{M_{\mathrm{E}}} = \frac{(3R)^3}{R_{\mathrm{p}}^3}\cdot \frac{\rho_{\mathrm{p}}R_{\mathrm{p}}^3}{\rho_{\mathrm{E}}R^3}. \]

После сокращения: \[ \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = 27\cdot \frac{\rho_{\mathrm{p}}}{\rho_{\mathrm{E}}}. \]

По условию \(\rho_{\mathrm{p}}=3\rho_{\mathrm{E}}\), поэтому: \[ \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=27\cdot 3=81. \]

Отсюда: \[ \frac{T_1}{T_2}=\sqrt{81}=9. \]

Ответ: в 9 раз.

Главная идея: для низкой орбиты период зависит не от радиуса планеты, а только от её плотности. Более плотная планета сильнее притягивает спутник, поэтому его период меньше.

Условие задачи 300 на фото обрезано — не хватает продолжения. Пришлите полный текст, и я решу её.