Реши 299

Краткий ответ: период обращения первого спутника больше в 9 раз.

Пусть \(R_{\text{З}}\), \(\rho_{\text{З}}\) — радиус и плотность Земли, а \(R_{\text{п}}\), \(\rho_{\text{п}}\) — радиус и плотность планеты.

Первый спутник находится на высоте \(2R_{\text{З}}\), значит расстояние от центра Земли: \[ r_1=R_{\text{З}}+2R_{\text{З}}=3R_{\text{З}}. \]

Второй спутник летает на малой высоте, поэтому можно принять: \[ r_2\approx R_{\text{п}}. \]

По третьему закону Кеплера: \[ T^2=\frac{4\pi^2 r^3}{GM}. \]

Масса планеты выражается через плотность: \[ M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho. \]

Поэтому: \[ T^2\propto \frac{r^3}{\rho R^3}. \]

Для первого спутника: \[ T_1^2\propto \frac{(3R_{\text{З}})^3}{\rho_{\text{З}}R_{\text{З}}^3} =\frac{27}{\rho_{\text{З}}}. \]

Для второго: \[ T_2^2\propto \frac{R_{\text{п}}^3}{\rho_{\text{п}}R_{\text{п}}^3} =\frac{1}{\rho_{\text{п}}}. \]

Отсюда: \[ \frac{T_1^2}{T_2^2} =\frac{27/\rho_{\text{З}}}{1/\rho_{\text{п}}} =27\frac{\rho_{\text{п}}}{\rho_{\text{З}}}. \]

По условию \(\rho_{\text{п}}=3\rho_{\text{З}}\), значит: \[ \frac{T_1^2}{T_2^2}=27\cdot 3=81, \] \[ \frac{T_1}{T_2}=\sqrt{81}=9. \]

Ответ: в 9 раз.