299. Первый спутник движется вокруг Земли на высоте, равной двум ее радиусам, а второй — вокруг некоторой планеты на малой высоте. Во сколько раз период обращения первого спутника

Ответ: период обращения первого спутника больше в \(9\) раз.

Ниже — подробный вывод.

1. Запишем данные

Пусть \(R_{\oplus}\) — радиус Земли, \(\rho_{\oplus}\) — её средняя плотность.
Для первой планеты (Земли):

\[ h_1=2R_{\oplus}, \qquad r_1=R_{\oplus}+h_1=3R_{\oplus}. \]

Второй спутник движется у поверхности некоторой планеты на малой высоте, поэтому

\[ h_2 \ll R_{\text{пл}}, \qquad r_2\approx R_{\text{пл}}. \]

Плотность этой планеты:

\[ \rho_{\text{пл}}=3\rho_{\oplus}. \]

2. Период кругового движения спутника

На спутник действует сила тяготения, она же сообщает центростремительное ускорение:

\[ G\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}. \]

Отсюда

\[ v^2=\frac{GM}{r}. \]

Период обращения:

\[ T=\frac{2\pi r}{v} =2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}. \]

3. Выразим массу через плотность

Для планеты радиуса \(R\):

\[ M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho. \]

Подставим в формулу периода:

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\cdot \frac{4}{3}\pi R^3\rho}}. \]

Упростим:

\[ T =2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}} \left(\frac{r}{R}\right)^{3/2}. \]

Так как \(2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}} =\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}\), получаем удобную формулу:

\[ \boxed{ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}} \left(\frac{r}{R}\right)^{3/2} } \]

или, если \(r=R+h\),

\[ \boxed{ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}} \left(1+\frac{h}{R}\right)^{3/2} } \]

4. Считаем период первого спутника

Для первого спутника:

\[ \frac{r_1}{R_{\oplus}}=\frac{3R_{\oplus}}{R_{\oplus}}=3. \]

Значит,

\[ T_1= \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho_{\oplus}}} \cdot 3^{3/2}. \]

5. Считаем период второго спутника

Второй спутник находится на малой высоте, поэтому

\[ \frac{r_2}{R_{\text{пл}}}\approx 1. \]

Тогда

\[ T_2\approx \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho_{\text{пл}}}}. \]

6. Находим отношение периодов

\[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{ \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho_{\oplus}}}\cdot 3^{3/2} }{ \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho_{\text{пл}}}} } = 3^{3/2} \sqrt{\frac{\rho_{\text{пл}}}{\rho_{\oplus}}}. \]

По условию \(\rho_{\text{пл}}=3\rho_{\oplus}\), поэтому

\[ \frac{T_1}{T_2} = 3^{3/2}\sqrt{3}. \]

Так как

\[ 3^{3/2}=\sqrt{27}, \qquad \sqrt{3}=\sqrt{3}, \]

то

\[ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{27}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{81} = 9. \]

Ответ: период обращения первого спутника больше в \(9\) раз.

Важно

При решении нельзя брать \(r=h\): радиус орбиты — это расстояние от центра планеты, то есть

\[ r=R+h. \]

Именно поэтому для первого спутника \(r_1=3R_{\oplus}\), а не \(2R_{\oplus}\).

\(r^3\) появляется чисто алгебраически — когда мы выражаем период через скорость. Никакого «объёма орбиты» здесь нет.

Вывод 1: через скорость

Сила тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение:

\[ G\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r} \]

Отсюда:

\[ v^2=\frac{GM}{r} \]

Период — это длина окружности, делённая на скорость:

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

Возводим в квадрат:

\[ T^2=\frac{(2\pi r)^2}{v^2} =\frac{4\pi^2 r^2}{GM/r} =\frac{4\pi^2 r^3}{GM} \]

Значит:

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

Видно, откуда взялся куб: \(r^2\) — от длины окружности \(2\pi r\), и ещё одно \(r\) — из \(v^2\), потому что скорость стоит в знаменателе.

Вывод 2: через угловую скорость

Можно короче. Центростремительное ускорение:

\[ a=\omega^2 r \]

Приравниваем к ускорению свободного падения на орбите:

\[ \omega^2 r=\frac{GM}{r^2} \]

Умножаем обе части на \(r\):

\[ \omega^2=\frac{GM}{r^3} \]

А период:

\[ T=\frac{2\pi}{\omega} =2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

Что важно не перепутать

В формуле массы планеты

\[ M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho \]

\(R^3\) — это действительно объём планеты. А \(r^3\) в формуле периода — это просто радиус орбиты в третьей степени, результат преобразований. Это разные величины:

• \(R\) — радиус планеты;
• \(r=R+h\) — радиус орбиты, то есть расстояние от центра планеты.

Именно поэтому для первого спутника:

\[ r_1=R_{\oplus}+2R_{\oplus}=3R_{\oplus} \]

а не \(2R_{\oplus}\).

Судя по фото, условие совпадает с тем, что я решал: высота \(2R_{\oplus}\), плотность планеты в \(3\) раза больше. В пункте 3 новых допущений нет — там используются только объём шара и подстановка в уже полученную формулу периода. Разберу по шагам.

1. Откуда \(M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho\)

Масса тела равна плотности, умноженной на объём:

\[ M=\rho V. \]

Планета — шар радиуса \(R\), объём шара:

\[ V=\frac{4}{3}\pi R^3. \]

Значит,

\[ M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho. \]

Это та же величина, что и раньше, только записанная не через \(M\), а через \(\rho\) и \(R\). Так удобнее, потому что в условии плотности, а не массы.

2. Подстановка в формулу периода

Берём формулу из пункта 2:

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}. \]

Подставляем в неё \(M\):

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\cdot \frac{4}{3}\pi R^3\rho}}. \]

Дробь \(\frac{4}{3}\) в знаменателе переворачивается, поэтому тройка уходит в числитель:

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{3r^3}{4\pi G\rho R^3}}. \]

Тут \(r\) — радиус орбиты, а \(R\) — радиус планеты (не путать).

3. Как получилось \(\left(\frac{r}{R}\right)^{3/2}\)

Корень из произведения равен произведению корней:

\[ \sqrt{\frac{3r^3}{4\pi G\rho R^3}} = \sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}} \cdot \sqrt{\frac{r^3}{R^3}}. \]

А

\[ \sqrt{\frac{r^3}{R^3}} = \left(\frac{r}{R}\right)^{3/2}. \]

Отсюда:

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}\left(\frac{r}{R}\right)^{3/2}. \]

4. Как получилось \(\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}\)

Множитель \(2\pi\) вносим под корень (он возводится в квадрат):

\[ 2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}} = \sqrt{4\pi^2\cdot\frac{3}{4\pi G\rho}} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}. \]

Итоговая рабочая формула:

\[ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}\left(\frac{r}{R}\right)^{3/2}. \]

5. Зачем это нужно

В этой записи \(G\) и \(\pi\) — константы, а всё отличие двух планет собрано в двух числах:

• \(\rho\) — плотность;
• \(\frac{r}{R}\) — во сколько раз радиус орбиты больше радиуса планеты.

Поэтому отношение периодов считается в одну строчку:

\[ \frac{T_1}{T_2} = 3^{3/2}\sqrt{\frac{\rho_{\text{пл}}}{\rho_{\oplus}}} = \sqrt{27}\cdot\sqrt{3} = 9. \]

Проверка формулы: для низкой орбиты у поверхности Земли \(\frac{r}{R}=1\), \(\rho\approx 5500\) кг/м³. Тогда \(T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}\approx 5,1\cdot10^3\) с \(\approx 85\) мин — как раз обычный период спутника на низкой орбите. Значит, формула верная.

В пункте 4 я не брал никаких новых формул — там просто подставлены числа в формулу из пункта 3. Покажу это ещё раз, без пропусков.

Формула из пункта 3

Мы получили:

\[ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}\left(\frac{r}{R}\right)^{3/2} \]

где:

• \(T\) — период спутника;
• \(\rho\) — плотность планеты;
• \(r\) — радиус орбиты, то есть расстояние от центра планеты;
• \(R\) — радиус самой планеты;
• \(G\) — гравитационная постоянная.

Эта формула годится для любого спутника на круговой орбите. Дальше в неё надо только подставить данные каждого спутника.

---

Первый спутник

Он летает вокруг Земли. Значит, в формулу подставляем плотность Земли:

\[ \rho=\rho_{\oplus}. \]

Высота первого спутника равна двум радиусам Земли, поэтому радиус его орбиты:

\[ r_1=R_{\oplus}+2R_{\oplus}=3R_{\oplus}. \]

Радиус планеты в знаменателе — это радиус Земли:

\[ R=R_{\oplus}. \]

Отношение:

\[ \frac{r_1}{R_{\oplus}}=\frac{3R_{\oplus}}{R_{\oplus}}=3. \]

Подставляем это в формулу из пункта 3:

\[ T_1=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho_{\oplus}}}\cdot 3^{3/2}. \]

Вот и вся «формула» пункта 4. Это та же самая формула, только вместо \(\frac{r}{R}\) написано число \(3\), а вместо \(\rho\) — \(\rho_{\oplus}\).

---

Второй спутник

Он летает вокруг другой планеты на малой высоте. Значит, высота почти нулевая, и радиус орбиты примерно равен радиусу планеты:

\[ r_2\approx R_{\text{пл}}. \]

Поэтому:

\[ \frac{r_2}{R_{\text{пл}}}\approx 1. \]

Плотность этой планеты обозначим \(\rho_{\text{пл}}\). Подставляем в ту же формулу:

\[ T_2=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho_{\text{пл}}}}\cdot 1^{3/2}. \]

Но \(1^{3/2}=1\), поэтому:

\[ T_2=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho_{\text{пл}}}}. \]

---

Отношение периодов

Теперь делим \(T_1\) на \(T_2\):

\[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{ \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho_{\oplus}}}\cdot 3^{3/2} }{ \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho_{\text{пл}}}} }. \]

Множитель \(\sqrt{\frac{3\pi}{G}}\) есть и сверху, и снизу, поэтому он сокращается. Остаётся:

\[ \frac{T_1}{T_2} = 3^{3/2}\cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\rho_{\oplus}}}}{\sqrt{\frac{1}{\rho_{\text{пл}}}}} = 3^{3/2}\sqrt{\frac{\rho_{\text{пл}}}{\rho_{\oplus}}}. \]

По условию плотность планеты в три раза больше плотности Земли:

\[ \rho_{\text{пл}}=3\rho_{\oplus}. \]

Значит:

\[ \frac{\rho_{\text{пл}}}{\rho_{\oplus}}=3. \]

Подставляем:

\[ \frac{T_1}{T_2} = 3^{3/2}\cdot\sqrt{3}. \]

Считаем:

\[ 3^{3/2}=3\sqrt{3}=\sqrt{27}, \]

поэтому:

\[ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{27}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{81} = 9. \]

---

Итог: в пункте 4 никакой отдельной формулы нет. Это формула

\[ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}\left(\frac{r}{R}\right)^{3/2} \]

с подставленными значениями \(\frac{r_1}{R_{\oplus}}=3\) и \(\rho=\rho_{\oplus}\). Для второго спутника в ту же формулу подставляется \(\frac{r_2}{R_{\text{пл}}}\approx 1\).