Реши без краткого ответа

Ниже — подробные решения по строкам. Использую свойства степеней: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]

Верхняя строка

0. \(a^{13}\cdot a^{11}:a^{21}=a^{13+11-21}=a^3\).
   При \(a=4\): \(4^3=64\).

Первый скриншот

1. \(a^{19}\cdot a^{-8}:a^9=a^{19-8-9}=a^2\).
   При \(a=6\): \(6^2=36\).

2. \(a^7\cdot a^{10}:a^{14}=a^{7+10-14}=a^3\).
   При \(a=5\): \(5^3=125\).

3. \(a^{21}\cdot a^{-8}:a^{11}=a^{21-8-11}=a^2\).
   При \(a=5\): \(5^2=25\).

4. \(a^9\cdot a^{12}:a^{17}=a^{9+12-17}=a^4\).
   При \(a=3\): \(3^4=81\).

5. \(a^6\cdot a^{19}:a^{22}=a^{6+19-22}=a^3\).
   При \(a=3\): \(3^3=27\).

6. \(a^8\cdot a^{17}:a^{20}=a^{8+17-20}=a^5\).
   При \(a=2\): \(2^5=32\).

7. \(a^6\cdot a^{18}:a^{20}=a^{6+18-20}=a^4\).
   При \(a=2\): \(2^4=16\).

8. \(a^7\cdot a^{19}:a^{23}=a^{7+19-23}=a^3\).
   При \(a=2\): \(2^3=8\).

9. \(a^{26}\cdot a^{-15}:a^9=a^{26-15-9}=a^2\).
   При \(a=3\): \(3^2=9\).

10. \(\dfrac{(a^3)^4\cdot a^{12}}{a^{21}}=\dfrac{a^{12}\cdot a^{12}}{a^{21}}=\dfrac{a^{24}}{a^{21}}=a^3\).
    При \(a=5\): \(5^3=125\).

11. \(\dfrac{(a^3)^5\cdot a^6}{a^{19}}=\dfrac{a^{15}\cdot a^6}{a^{19}}=\dfrac{a^{21}}{a^{19}}=a^2\).
    При \(a=5\): \(5^2=25\).

12. \(\dfrac{(a^7)^3\cdot a^{10}}{a^{28}}=\dfrac{a^{21}\cdot a^{10}}{a^{28}}=\dfrac{a^{31}}{a^{28}}=a^3\).
    При \(a=4\): \(4^3=64\).

13. \(\dfrac{(a^4)^6\cdot a^7}{a^{29}}=\dfrac{a^{24}\cdot a^7}{a^{29}}=\dfrac{a^{31}}{a^{29}}=a^2\).
    При \(a=7\): \(7^2=49\).

Второй скриншот

14. \(\dfrac{(a^3)^6\cdot a^3}{a^{17}}=\dfrac{a^{18}\cdot a^3}{a^{17}}=\dfrac{a^{21}}{a^{17}}=a^4\).
    При \(a=3\): \(3^4=81\).

15. \(\dfrac{(a^4)^4\cdot a^5}{a^{18}}=\dfrac{a^{16}\cdot a^5}{a^{18}}=\dfrac{a^{21}}{a^{18}}=a^3\).
    При \(a=3\): \(3^3=27\).

16. \(\dfrac{(a^9)^3\cdot a^7}{a^{29}}=\dfrac{a^{27}\cdot a^7}{a^{29}}=\dfrac{a^{34}}{a^{29}}=a^5\).
    При \(a=2\): \(2^5=32\).

17. Если в знаменателе \(a^{28}\), как читается на фото:
    \[ \frac{(a^5)^5\cdot a^6}{a^{28}} =\frac{a^{25}\cdot a^6}{a^{28}} =\frac{a^{31}}{a^{28}}=a^3. \] При \(a=2\): \(2^3=8\).

Последняя строка обрезана: виден только числитель \((a^7)^3\cdot a^{10}=a^{31}\), а показатель степени в знаменателе не попал в кадр. Пришли его — допишу решение.

Сначала решу задание с верхнего снимка, затем все задания с основного листа. Везде использую свойства степеней: \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (ab)^n=a^n b^n. \]

Верхний снимок

\[ \frac{(a^6)^3\cdot a^7}{a^{20}} = \frac{a^{18}\cdot a^7}{a^{20}} = \frac{a^{25}}{a^{20}} = a^5. \] При \(a=7\): \[ a^5=7^5=16807. \]

Ответ: \(16807\).

---

Основной лист

№ 1

\[ \frac{(a^3)^6\cdot a^3}{a^{17}} = \frac{a^{18}\cdot a^3}{a^{17}} = \frac{a^{21}}{a^{17}} = a^4. \] При \(a=3\): \[ a^4=3^4=81. \]

Ответ: \(81\).

№ 2

\[ \frac{(a^4)^4\cdot a^5}{a^{18}} = \frac{a^{16}\cdot a^5}{a^{18}} = \frac{a^{21}}{a^{18}} = a^3. \] При \(a=3\): \[ a^3=3^3=27. \]

Ответ: \(27\).

№ 3

\[ \frac{(a^8)^3\cdot a^7}{a^{29}} = \frac{a^{24}\cdot a^7}{a^{29}} = \frac{a^{31}}{a^{29}} = a^2. \] При \(a=2\): \[ a^2=2^2=4. \]

Ответ: \(4\).

№ 4

\[ \frac{(a^5)^5\cdot a^6}{a^{27}} = \frac{a^{25}\cdot a^6}{a^{27}} = \frac{a^{31}}{a^{27}} = a^4. \] При \(a=2\): \[ a^4=2^4=16. \]

Ответ: \(16\).

№ 5

\[ \frac{(a^7)^3\cdot a^{10}}{a^{28}} = \frac{a^{21}\cdot a^{10}}{a^{28}} = \frac{a^{31}}{a^{28}} = a^3. \] При \(a=2\): \[ a^3=2^3=8. \]

Ответ: \(8\).

№ 6

На фото показатель степени в знаменателе мелкий. Если там \(a^{11}\), то: \[ \frac{(a^3)^2\cdot a^5}{a^{11}} = \frac{a^6\cdot a^5}{a^{11}} = \frac{a^{11}}{a^{11}} = a^0=1. \] При \(a=3\) значение равно \(1\).

Если же в знаменателе стоит \(a^{19}\), то: \[ a^{11-19}=a^{-8}=\frac{1}{3^8}=\frac{1}{6561}. \]

Основной ответ при чтении \(a^{11}\): \(1\).

№ 7

\[ \frac{a^{14}\cdot (b^4)^3}{(ab)^{12}} = \frac{a^{14}\cdot b^{12}}{a^{12}\cdot b^{12}} = a^2. \] При \(a=3\): \[ a^2=3^2=9. \]

Ответ: \(9\).

№ 8

\[ \frac{a^{21}\cdot (b^4)^3}{(ab)^{18}} = \frac{a^{21}\cdot b^{12}}{a^{18}\cdot b^{18}} = a^3b^{-6} = \frac{a^3}{b^6}. \] При \(a=3\), \(b=\sqrt3\): \[ \frac{3^3}{(\sqrt3)^6} = \frac{27}{27} = 1. \]

Ответ: \(1\).

№ 9

\[ \frac{a^{18}\cdot (b^7)^2}{(ab)^{14}} = \frac{a^{18}\cdot b^{14}}{a^{14}\cdot b^{14}} = a^4. \] При \(a=3\): \[ a^4=3^4=81. \]

Ответ: \(81\).

№ 10

\[ \frac{a^{21}\cdot (b^6)^2}{(ab)^{18}} = \frac{a^{21}\cdot b^{12}}{a^{18}\cdot b^{18}} = a^3b^{-6} = \frac{a^3}{b^6}. \] При \(a=5\), \(b=\sqrt5\): \[ \frac{5^3}{(\sqrt5)^6} = \frac{125}{125} = 1. \]

Ответ: \(1\).

№ 11

\[ \frac{a^{18}\cdot (b^5)^2}{(ab)^{16}} = \frac{a^{18}\cdot b^{10}}{a^{16}\cdot b^{16}} = a^2b^{-6} = \frac{a^2}{b^6}. \] При \(a=5\), \(b=\sqrt5\): \[ \frac{5^2}{(\sqrt5)^6} = \frac{25}{125} = \frac15 = 0{,}2. \]

Ответ: \(0{,}2\).

№ 12

\[ \frac{a^{14}\cdot (b^6)^2}{(ab)^{12}} = \frac{a^{14}\cdot b^{12}}{a^{12}\cdot b^{12}} = a^2. \] При \(a=6\): \[ a^2=6^2=36. \]

Ответ: \(36\).

№ 13

\[ \frac{a^{17}\cdot (b^5)^3}{(ab)^{15}} = \frac{a^{17}\cdot b^{15}}{a^{15}\cdot b^{15}} = a^2. \] При \(a=7\): \[ a^2=7^2=49. \]

Ответ: \(49\).

---

Последняя строка на нижнем снимке перекрыта баннером, поэтому её условие полностью не читается. Пришли этот фрагмент крупнее — допишу решение.

Решаю с подробными преобразованиями. Использую: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^n b^n, \] а для корней: \[ \sqrt{x^2}=|x|,\qquad (-a)^{2k}=a^{2k}. \] Во всех заданиях \(a>0\), поэтому \(\sqrt{a^{2k}}=a^k\).

Верхнее задание

\[ \frac{a^{18}\cdot (b^5)^2}{(ab)^{16}}, \qquad a=5,\quad b=\sqrt5. \]

Раскрываем степени: \[ (b^5)^2=b^{10},\qquad (ab)^{16}=a^{16}b^{16}. \] Тогда \[ \frac{a^{18}b^{10}}{a^{16}b^{16}} = a^{18-16}\cdot b^{10-16} = a^2b^{-6} = \frac{a^2}{b^6}. \] Подставляем \(a=5\), \(b=\sqrt5\): \[ \frac{5^2}{(\sqrt5)^6} = \frac{25}{125} = \frac15 = 0{,}2. \]

Ответ: \(0{,}2\).

---

1) \(\dfrac{a^{14}(b^6)^2}{(ab)^{12}}\) при \(a=6,\ b=\sqrt6\)

\[ (b^6)^2=b^{12},\qquad (ab)^{12}=a^{12}b^{12}. \] \[ \frac{a^{14}b^{12}}{a^{12}b^{12}} = a^{14-12} = a^2. \] При \(a=6\): \[ a^2=6^2=36. \]

Ответ: \(36\).

---

2) \(\dfrac{a^{17}(b^5)^3}{(ab)^{15}}\) при \(a=7,\ b=\sqrt7\)

\[ (b^5)^3=b^{15},\qquad (ab)^{15}=a^{15}b^{15}. \] \[ \frac{a^{17}b^{15}}{a^{15}b^{15}} = a^{17-15} = a^2. \] При \(a=7\): \[ a^2=7^2=49. \]

Ответ: \(49\).

---

3) \(\dfrac{a^{21}(b^4)^4}{(ab)^{16}}\) при \(a=2,\ b=\sqrt2\)

\[ (b^4)^4=b^{16},\qquad (ab)^{16}=a^{16}b^{16}. \] \[ \frac{a^{21}b^{16}}{a^{16}b^{16}} = a^{21-16} = a^5. \] При \(a=2\): \[ a^5=2^5=32. \]

Ответ: \(32\).

---

4) \(\dfrac{a^{22}(b^3)^6}{(ab)^{18}}\) при \(a=2,\ b=\sqrt2\)

\[ (b^3)^6=b^{18},\qquad (ab)^{18}=a^{18}b^{18}. \] \[ \frac{a^{22}b^{18}}{a^{18}b^{18}} = a^{22-18} = a^4. \] При \(a=2\): \[ a^4=2^4=16. \]

Ответ: \(16\).

---

5) \(\dfrac{a^{23}(b^5)^4}{(ab)^{20}}\) при \(a=2,\ b=\sqrt2\)

\[ (b^5)^4=b^{20},\qquad (ab)^{20}=a^{20}b^{20}. \] \[ \frac{a^{23}b^{20}}{a^{20}b^{20}} = a^{23-20} = a^3. \] При \(a=2\): \[ a^3=2^3=8. \]

Ответ: \(8\).

---

6) \(\sqrt{(-a)^2\cdot a^4}\) при \(a=3\)

Так как \((-a)^2=a^2\), получаем: \[ \sqrt{a^2\cdot a^4} = \sqrt{a^6} = a^3. \] При \(a=3\): \[ a^3=3^3=27. \]

Ответ: \(27\).

---

7) \(\sqrt{a^6\cdot(-a)^4}\) при \(a=2\)

\[ (-a)^4=a^4, \] поэтому: \[ \sqrt{a^6\cdot a^4} = \sqrt{a^{10}} = a^5. \] При \(a=2\): \[ a^5=2^5=32. \]

Ответ: \(32\).

---

8) \(\sqrt{a^2\cdot(-a)^6}\) при \(a=2\)

\[ (-a)^6=a^6, \] тогда: \[ \sqrt{a^2\cdot a^6} = \sqrt{a^8} = a^4. \] При \(a=2\): \[ a^4=2^4=16. \]

Ответ: \(16\).

---

9) \(\sqrt{(-a)^4\cdot a^4}\) при \(a=2\)

\[ (-a)^4=a^4. \] Получаем: \[ \sqrt{a^4\cdot a^4} = \sqrt{a^8} = a^4. \] При \(a=2\): \[ 2^4=16. \]

Ответ: \(16\).

---

10) \(\sqrt{(-a)^8\cdot a^2}\) при \(a=2\)

\[ (-a)^8=a^8. \] Тогда: \[ \sqrt{a^8\cdot a^2} = \sqrt{a^{10}} = a^5. \] При \(a=2\): \[ 2^5=32. \]

Ответ: \(32\).

---

11) \(\sqrt{a^2\cdot(-a)^4}\) при \(a=4\)

\[ (-a)^4=a^4. \] \[ \sqrt{a^2\cdot a^4} = \sqrt{a^6} = a^3. \] При \(a=4\): \[ 4^3=64. \]

Ответ: \(64\).

---

12) \(\sqrt{a^2\cdot(-a)^2}\) при \(a=4\)

\[ (-a)^2=a^2, \] поэтому: \[ \sqrt{a^2\cdot a^2} = \sqrt{a^4} = a^2. \] При \(a=4\): \[ 4^2=16. \]

Ответ: \(16\).

---

13) \(\sqrt{a^6\cdot(-a)^2}\) при \(a=3\)

\[ (-a)^2=a^2. \] Тогда: \[ \sqrt{a^6\cdot a^2} = \sqrt{a^8} = a^4. \] При \(a=3\): \[ 3^4=81. \]

Ответ: \(81\).

---

14) \(\sqrt{(-a)^4\cdot a^2}\) при \(a=5\)

\[ (-a)^4=a^4. \] \[ \sqrt{a^4\cdot a^2} = \sqrt{a^6} = a^3. \] При \(a=5\): \[ 5^3=125. \]

Ответ: \(125\).

---

15) \(\sqrt{a^8\cdot(-a)^4}\) при \(a=2\)

На фото эта строка частично перекрыта, но читается как выше. Тогда: \[ (-a)^4=a^4, \] \[ \sqrt{a^8\cdot a^4} = \sqrt{a^{12}} = a^6. \] При \(a=2\): \[ 2^6=64. \]

Ответ: \(64\).

---

16) \(\sqrt{16a^{12}}\) при \(a=5\)

\[ \sqrt{16a^{12}} = \sqrt{16}\cdot\sqrt{a^{12}} = 4a^6. \] При \(a=5\): \[ 4\cdot 5^6 = 4\cdot15625 = 62500. \]

Ответ: \(62500\).

---

Если в последней строке с корнем показатель степени на фото прочитан неверно, пришли этот фрагмент крупнее — пересчитаю именно его.

Все задания решаю подробно: сначала упрощаю подкоренное выражение, затем подставляю значение \(a\).

Так как во всех заданиях подставляются положительные \(a\), используем: \[ (-a)^{2k}=a^{2k},\qquad \sqrt{a^{2k}}=a^k. \]

---

1) \(\sqrt{a^2\cdot(-a)^2}\) при \(a=4\)

\[ (-a)^2=a^2, \] поэтому \[ \sqrt{a^2\cdot(-a)^2} = \sqrt{a^2\cdot a^2} = \sqrt{a^4} = a^2. \] Подставляем \(a=4\): \[ a^2=4^2=16. \]

Ответ: \(16\).

---

2) \(\sqrt{a^6\cdot(-a)^2}\) при \(a=3\)

\[ (-a)^2=a^2, \] тогда \[ \sqrt{a^6\cdot(-a)^2} = \sqrt{a^6\cdot a^2} = \sqrt{a^8} = a^4. \] Подставляем \(a=3\): \[ a^4=3^4=81. \]

Ответ: \(81\).

---

3) \(\sqrt{(-a)^4\cdot a^2}\) при \(a=5\)

\[ (-a)^4=a^4, \] значит, \[ \sqrt{(-a)^4\cdot a^2} = \sqrt{a^4\cdot a^2} = \sqrt{a^6} = a^3. \] Подставляем \(a=5\): \[ a^3=5^3=125. \]

Ответ: \(125\).

---

4) \(\sqrt{a^8\cdot(-a)^4}\) при \(a=2\)

\[ (-a)^4=a^4, \] поэтому \[ \sqrt{a^8\cdot(-a)^4} = \sqrt{a^8\cdot a^4} = \sqrt{a^{12}} = a^6. \] Подставляем \(a=2\): \[ a^6=2^6=64. \]

Ответ: \(64\).

---

5) \(\sqrt{\dfrac{16a^{12}}{a^{10}}}\) при \(a=5\)

Сначала упрощаем дробь под корнем: \[ \frac{a^{12}}{a^{10}}=a^{12-10}=a^2. \] Тогда \[ \sqrt{\frac{16a^{12}}{a^{10}}} = \sqrt{16a^2} = 4a. \] Подставляем \(a=5\): \[ 4a=4\cdot 5=20. \]

Ответ: \(20\).

---

6) \(\sqrt{\dfrac{9a^{14}}{a^8}}\) при \(a=2\)

\[ \frac{a^{14}}{a^8}=a^{14-8}=a^6. \] Получаем: \[ \sqrt{\frac{9a^{14}}{a^8}} = \sqrt{9a^6} = 3a^3. \] При \(a=2\): \[ 3a^3=3\cdot 2^3=3\cdot 8=24. \]

Ответ: \(24\).

---

7) \(\sqrt{\dfrac{4a^{16}}{a^{12}}}\) при \(a=5\)

\[ \frac{a^{16}}{a^{12}}=a^{16-12}=a^4. \] Тогда \[ \sqrt{\frac{4a^{16}}{a^{12}}} = \sqrt{4a^4} = 2a^2. \] Подставляем \(a=5\): \[ 2a^2=2\cdot 5^2=2\cdot 25=50. \]

Ответ: \(50\).

---

8) \(\sqrt{\dfrac{25a^{15}}{a^9}}\) при \(a=2\)

\[ \frac{a^{15}}{a^9}=a^{15-9}=a^6. \] Получаем: \[ \sqrt{\frac{25a^{15}}{a^9}} = \sqrt{25a^6} = 5a^3. \] Подставляем \(a=2\): \[ 5a^3=5\cdot 2^3=5\cdot 8=40. \]

Ответ: \(40\).

---

9) \(\sqrt{\dfrac{36a^{21}}{a^{15}}}\) при \(a=2\)

\[ \frac{a^{21}}{a^{15}}=a^{21-15}=a^6. \] Тогда \[ \sqrt{\frac{36a^{21}}{a^{15}}} = \sqrt{36a^6} = 6a^3. \] При \(a=2\): \[ 6a^3=6\cdot 8=48. \]

Ответ: \(48\).

---

10) \(\sqrt{\dfrac{9a^{19}}{a^9}}\) при \(a=2\)

\[ \frac{a^{19}}{a^9}=a^{19-9}=a^{10}. \] Получаем: \[ \sqrt{\frac{9a^{19}}{a^9}} = \sqrt{9a^{10}} = 3a^5. \] При \(a=2\): \[ 3a^5=3\cdot 2^5=3\cdot 32=96. \]

Ответ: \(96\).

---

11) \(\sqrt{\dfrac{4a^{20}}{a^{14}}}\) при \(a=3\)

\[ \frac{a^{20}}{a^{14}}=a^{20-14}=a^6. \] Тогда \[ \sqrt{\frac{4a^{20}}{a^{14}}} = \sqrt{4a^6} = 2a^3. \] При \(a=3\): \[ 2a^3=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54. \]

Ответ: \(54\).

---

12) \(\sqrt{\dfrac{25a^{19}}{a^{11}}}\) при \(a=2\)

\[ \frac{a^{19}}{a^{11}}=a^{19-11}=a^8. \] Получаем: \[ \sqrt{\frac{25a^{19}}{a^{11}}} = \sqrt{25a^8} = 5a^4. \] При \(a=2\): \[ 5a^4=5\cdot 2^4=5\cdot 16=80. \]

Ответ: \(80\).

---

13) \(\sqrt{\dfrac{16a^{14}}{a^8}}\) при \(a=3\)

\[ \frac{a^{14}}{a^8}=a^{14-8}=a^6. \] Тогда \[ \sqrt{\frac{16a^{14}}{a^8}} = \sqrt{16a^6} = 4a^3. \] При \(a=3\): \[ 4a^3=4\cdot 3^3=4\cdot 27=108. \]

Ответ: \(108\).

---

14) \(\sqrt{\dfrac{64a^{17}}{a^{11}}}\) при \(a=7\)

Здесь знаменатель читается как \(a^{11}\). Упрощаем: \[ \frac{a^{17}}{a^{11}}=a^{17-11}=a^6. \] Получаем: \[ \sqrt{\frac{64a^{17}}{a^{11}}} = \sqrt{64a^6} = 8a^3. \] Подставляем \(a=7\): \[ 8a^3=8\cdot 7^3=8\cdot 343=2744. \]

Ответ: \(2744\).

---

Самая верхняя строка на снимке перекрыта: у неё не читается показатель степени при \(a\). Пришли этот фрагмент крупнее — решу и её.

Ниже — подробные решения по строкам. Все переменные в заданиях положительны, поэтому использую: \[ \sqrt{x^{2k}}=x^k,\qquad \sqrt{\frac{u}{v}}=\frac{\sqrt u}{\sqrt v}\quad (v>0). \]

1) \(\sqrt{\dfrac{25a^{19}}{a^{11}}}\) при \(a=2\)

Сначала упрощаю дробь под корнем: \[ \frac{a^{19}}{a^{11}}=a^{19-11}=a^8. \] Значит, \[ \sqrt{\frac{25a^{19}}{a^{11}}} = \sqrt{25a^8} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{a^8} = 5a^4. \] Подставляю \(a=2\): \[ 5a^4=5\cdot 2^4=5\cdot 16=80. \]

Ответ: \(80\).

---

2) \(\sqrt{\dfrac{16a^{14}}{a^8}}\) при \(a=3\)

\[ \frac{a^{14}}{a^8}=a^{14-8}=a^6. \] Тогда \[ \sqrt{\frac{16a^{14}}{a^8}} = \sqrt{16a^6} = 4a^3. \] При \(a=3\): \[ 4a^3=4\cdot 3^3=4\cdot 27=108. \]

Ответ: \(108\).

---

3) \(\sqrt{\dfrac{64a^{17}}{a^{11}}}\) при \(a=7\)

\[ \frac{a^{17}}{a^{11}}=a^{17-11}=a^6. \] Получаю: \[ \sqrt{\frac{64a^{17}}{a^{11}}} = \sqrt{64a^6} = 8a^3. \] При \(a=7\): \[ 8a^3=8\cdot 7^3=8\cdot 343=2744. \]

Ответ: \(2744\).

---

4) \(\sqrt{\dfrac14\cdot x^4y^6}\) при \(x=2,\ y=3\)

\[ \sqrt{\frac14\cdot x^4y^6} = \sqrt{\frac14}\cdot\sqrt{x^4}\cdot\sqrt{y^6} = \frac12 x^2y^3. \] Подставляю \(x=2,\ y=3\): \[ \frac12\cdot 2^2\cdot 3^3 = \frac12\cdot 4\cdot 27 = 54. \]

Ответ: \(54\).

---

5) \(\sqrt{\dfrac14\cdot x^2y^8}\) при \(x=5,\ y=2\)

\[ \sqrt{\frac14\cdot x^2y^8} = \frac12 xy^4. \] При \(x=5,\ y=2\): \[ \frac12\cdot 5\cdot 2^4 = \frac12\cdot 5\cdot 16 = 40. \]

Ответ: \(40\).

---

6) \(\sqrt{\dfrac14\cdot x^4y^4}\) при \(x=2,\ y=3\)

\[ \sqrt{\frac14\cdot x^4y^4} = \frac12 x^2y^2. \] При \(x=2,\ y=3\): \[ \frac12\cdot 2^2\cdot 3^2 = \frac12\cdot 4\cdot 9 = 18. \]

Ответ: \(18\).

---

7) \(\sqrt{\dfrac1{25}\cdot x^6y^4}\) при \(x=5,\ y=2\)

\[ \sqrt{\frac1{25}\cdot x^6y^4} = \frac15 x^3y^2. \] При \(x=5,\ y=2\): \[ \frac15\cdot 5^3\cdot 2^2 = \frac15\cdot 125\cdot 4 = 100. \]

Ответ: \(100\).

---

8) \(\sqrt{\dfrac1{25}\cdot x^6y^2}\) при \(x=3,\ y=5\)

Показатель у \(x\) на снимке мелкий; читаю его как \(x^6\).

\[ \sqrt{\frac1{25}\cdot x^6y^2} = \frac15 x^3y. \] При \(x=3,\ y=5\): \[ \frac15\cdot 3^3\cdot 5 = \frac15\cdot 27\cdot 5 = 27. \]

Ответ: \(27\).

Если в твоём условии там всё-таки \(x^5\), то: \[ \sqrt{\frac1{25}\cdot x^5y^2} = \frac15 x^2y\sqrt{x} = \frac15\cdot 9\cdot 5\cdot\sqrt3 = 9\sqrt3. \]

---

9) \(\sqrt{\dfrac19\cdot x^4y^{10}}\) при \(x=3,\ y=2\)

\[ \sqrt{\frac19\cdot x^4y^{10}} = \frac13 x^2y^5. \] При \(x=3,\ y=2\): \[ \frac13\cdot 3^2\cdot 2^5 = \frac13\cdot 9\cdot 32 = 96. \]

Ответ: \(96\).

---

10) \(\sqrt{\dfrac19\cdot x^2y^6}\) при \(x=7,\ y=3\)

\[ \sqrt{\frac19\cdot x^2y^6} = \frac13 xy^3. \] При \(x=7,\ y=3\): \[ \frac13\cdot 7\cdot 3^3 = \frac13\cdot 7\cdot 27 = 63. \]

Ответ: \(63\).

---

11) \(\sqrt{\dfrac1{16}\cdot x^{10}y^2}\) при \(x=2,\ y=3\)

\[ \sqrt{\frac1{16}\cdot x^{10}y^2} = \frac14 x^5y. \] При \(x=2,\ y=3\): \[ \frac14\cdot 2^5\cdot 3 = \frac14\cdot 32\cdot 3 = 24. \]

Ответ: \(24\).

---

12) \(\sqrt{\dfrac1{16}\cdot x^6y^4}\) при \(x=2,\ y=5\)

\[ \sqrt{\frac1{16}\cdot x^6y^4} = \frac14 x^3y^2. \] При \(x=2,\ y=5\): \[ \frac14\cdot 2^3\cdot 5^2 = \frac14\cdot 8\cdot 25 = 50. \]

Ответ: \(50\).

---

13) \(\sqrt{\dfrac1{25}\cdot x^4y^8}\) при \(x=5,\ y=2\)

\[ \sqrt{\frac1{25}\cdot x^4y^8} = \frac15 x^2y^4. \] При \(x=5,\ y=2\): \[ \frac15\cdot 5^2\cdot 2^4 = \frac15\cdot 25\cdot 16 = 80. \]

Ответ: \(80\).

---

14) \(\sqrt{\dfrac{4x^2}{y^6}}\) при \(x=8,\ y=2\)

\[ \sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{2x}{y^3}. \] При \(x=8,\ y=2\): \[ \frac{2\cdot 8}{2^3} = \frac{16}{8} = 2. \]

Ответ: \(2\).

---

15) \(\sqrt{\dfrac{9x^4}{y^6}}\) при \(x=9,\ y=3\)

\[ \sqrt{\frac{9x^4}{y^6}} = \frac{3x^2}{y^3}. \] При \(x=9,\ y=3\): \[ \frac{3\cdot 9^2}{3^3} = \frac{3\cdot 81}{27} = 9. \]

Ответ: \(9\).

---

16) \(\sqrt{\dfrac{9x^2}{y^4}}\) при \(x=6,\ y=3\)

\[ \sqrt{\frac{9x^2}{y^4}} = \frac{3x}{y^2}. \] При \(x=6,\ y=3\): \[ \frac{3\cdot 6}{3^2} = \frac{18}{9} = 2. \]

Ответ: \(2\).

---

Последняя строка внизу закрыта плашкой: числитель под корнем не читается. Пришли этот фрагмент крупнее — решу его так же подробно.

Ниже — полное решение по строчкам. Все переменные в заданиях положительны, поэтому при извлечении корня модули можно не писать: \[ \sqrt{x^{2k}}=x^k \quad (x>0). \]

1) \(\sqrt{\frac{1}{25}\cdot x^4y^8}\) при \(x=5,\ y=2\)

\[ \sqrt{\frac{1}{25}\cdot x^4y^8} = \sqrt{\frac{1}{25}}\cdot\sqrt{x^4}\cdot\sqrt{y^8} = \frac15\cdot x^2\cdot y^4. \] Подставляем: \[ \frac15\cdot 5^2\cdot 2^4 = \frac15\cdot25\cdot16 = 80. \]

Ответ: \(80\).

---

2) \(\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}\) при \(x=8,\ y=2\)

\[ \sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{\sqrt4\cdot\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^6}} = \frac{2x}{y^3}. \] Подставляем: \[ \frac{2\cdot8}{2^3} = \frac{16}{8} = 2. \]

Ответ: \(2\).

---

3) \(\sqrt{\frac{9x^4}{y^6}}\) при \(x=9,\ y=3\)

\[ \sqrt{\frac{9x^4}{y^6}} = \frac{\sqrt9\cdot\sqrt{x^4}}{\sqrt{y^6}} = \frac{3x^2}{y^3}. \] Подставляем: \[ \frac{3\cdot9^2}{3^3} = \frac{3\cdot81}{27} = \frac{243}{27} = 9. \]

Ответ: \(9\).

---

4) \(\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}\) при \(x=6,\ y=3\)

\[ \sqrt{\frac{9x^2}{y^4}} = \frac{\sqrt9\cdot\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^4}} = \frac{3x}{y^2}. \] Подставляем: \[ \frac{3\cdot6}{3^2} = \frac{18}{9} = 2. \]

Ответ: \(2\).

---

5) \(\sqrt{\frac{16x^4}{y^{10}}}\) при \(x=8,\ y=2\)

\[ \sqrt{\frac{16x^4}{y^{10}}} = \frac{\sqrt{16}\cdot\sqrt{x^4}}{\sqrt{y^{10}}} = \frac{4x^2}{y^5}. \] Подставляем: \[ \frac{4\cdot8^2}{2^5} = \frac{4\cdot64}{32} = \frac{256}{32} = 8. \]

Ответ: \(8\).

---

6) \(\sqrt{\frac{36x^2}{y^4}}\) при \(x=6,\ y=2\)

\[ \sqrt{\frac{36x^2}{y^4}} = \frac{\sqrt{36}\cdot\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^4}} = \frac{6x}{y^2}. \] Подставляем: \[ \frac{6\cdot6}{2^2} = \frac{36}{4} = 9. \]

Ответ: \(9\).

---

7) \(\sqrt{\frac{16x^8}{y^6}}\) при \(x=2,\ y=4\)

\[ \sqrt{\frac{16x^8}{y^6}} = \frac{\sqrt{16}\cdot\sqrt{x^8}}{\sqrt{y^6}} = \frac{4x^4}{y^3}. \] Подставляем: \[ \frac{4\cdot2^4}{4^3} = \frac{4\cdot16}{64} = \frac{64}{64} = 1. \]

Ответ: \(1\).

---

8) \(\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}\) при \(x=6,\ y=9\)

\[ \sqrt{\frac{36x^4}{y^2}} = \frac{\sqrt{36}\cdot\sqrt{x^4}}{\sqrt{y^2}} = \frac{6x^2}{y}. \] Подставляем: \[ \frac{6\cdot6^2}{9} = \frac{6\cdot36}{9} = \frac{216}{9} = 24. \]

Ответ: \(24\).

---

9) \(\sqrt{\frac{16x^4}{y^4}}\) при \(x=4,\ y=2\)

\[ \sqrt{\frac{16x^4}{y^4}} = \frac{\sqrt{16}\cdot\sqrt{x^4}}{\sqrt{y^4}} = \frac{4x^2}{y^2}. \] Подставляем: \[ \frac{4\cdot4^2}{2^2} = \frac{4\cdot16}{4} = 16. \]

Ответ: \(16\).

---

10) \(\sqrt{\frac{25x^4}{y^6}}\) при \(x=10,\ y=5\)

\[ \sqrt{\frac{25x^4}{y^6}} = \frac{\sqrt{25}\cdot\sqrt{x^4}}{\sqrt{y^6}} = \frac{5x^2}{y^3}. \] Подставляем: \[ \frac{5\cdot10^2}{5^3} = \frac{5\cdot100}{125} = \frac{500}{125} = 4. \]

Ответ: \(4\).

---

11) \(\sqrt{\frac{25x^2}{y^4}}\) при \(x=10,\ y=5\)

\[ \sqrt{\frac{25x^2}{y^4}} = \frac{\sqrt{25}\cdot\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^4}} = \frac{5x}{y^2}. \] Подставляем: \[ \frac{5\cdot10}{5^2} = \frac{50}{25} = 2. \]

Ответ: \(2\).

---

12) \(\sqrt{a^2+8ab+16b^2}\) при \(a=3\frac37,\ b=\frac17\)

Сначала сворачиваем подкоренное выражение: \[ a^2+8ab+16b^2=(a+4b)^2. \] Тогда \[ \sqrt{a^2+8ab+16b^2} = \sqrt{(a+4b)^2} = a+4b \] (так как \(a,b>0\), модуль раскрывается без изменения знака).

Переведём смешанное число: \[ a=3\frac37=\frac{3\cdot7+3}{7}=\frac{24}{7}. \] Подставляем: \[ a+4b = \frac{24}{7}+4\cdot\frac17 = \frac{24}{7}+\frac47 = \frac{28}{7} = 4. \]

Ответ: \(4\).

---

13) \(\sqrt{a^2+8ab+16b^2}\) при \(a=3\frac23,\ b=\frac13\)

\[ a^2+8ab+16b^2=(a+4b)^2, \] поэтому \[ \sqrt{a^2+8ab+16b^2}=a+4b. \] Переводим: \[ a=3\frac23=\frac{3\cdot3+2}{3}=\frac{11}{3}. \] Подставляем: \[ a+4b = \frac{11}{3}+4\cdot\frac13 = \frac{11}{3}+\frac43 = \frac{15}{3} = 5. \]

Ответ: \(5\).

---

14) \(\sqrt{a^2+10ab+25b^2}\) при \(a=\frac7{11},\ b=\frac3{11}\)

\[ a^2+10ab+25b^2=(a+5b)^2. \] Тогда \[ \sqrt{a^2+10ab+25b^2} = a+5b. \] Подставляем: \[ a+5b = \frac7{11}+5\cdot\frac3{11} = \frac7{11}+\frac{15}{11} = \frac{22}{11} = 2. \]

Ответ: \(2\).

---

15) \(\sqrt{a^2+10ab+25b^2}\) при \(a=\frac{14}{13},\ b=\frac4{13}\)

\[ a^2+10ab+25b^2=(a+5b)^2, \] поэтому \[ \sqrt{a^2+10ab+25b^2} = a+5b. \] Подставляем: \[ a+5b = \frac{14}{13}+5\cdot\frac4{13} = \frac{14}{13}+\frac{20}{13} = \frac{34}{13} = 2\frac8{13}. \]

Ответ: \(\frac{34}{13}\), или \(2\frac8{13}\).

---

Последняя строка на фото обрезана: не видно подкоренного выражения и полного условия, поэтому её решить нельзя. Пришли этот фрагмент полностью.

Использую для положительных \(x,y,a,b\): \[ \sqrt{u^{2k}}=u^k,\qquad \sqrt{a^2+2ab+b^2}=a+b. \]

№	Упрощение	Подстановка	Ответ
1	\(\sqrt{\frac1{25}x^4y^8}=\frac15x^2y^4\)	\(\frac15\cdot5^2\cdot2^4=80\)	\(80\)
2	\(\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}=\frac{2x}{y^3}\)	\(\frac{2\cdot8}{2^3}=2\)	\(2\)
3	\(\sqrt{\frac{9x^4}{y^6}}=\frac{3x^2}{y^3}\)	\(\frac{3\cdot9^2}{3^3}=9\)	\(9\)
4	\(\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}=\frac{3x}{y^2}\)	\(\frac{3\cdot6}{3^2}=2\)	\(2\)
5	\(\sqrt{\frac{16x^4}{y^{10}}}=\frac{4x^2}{y^5}\)	\(\frac{4\cdot8^2}{2^5}=8\)	\(8\)
6	\(\sqrt{\frac{36x^2}{y^4}}=\frac{6x}{y^2}\)	\(\frac{6\cdot6}{2^2}=9\)	\(9\)
7	\(\sqrt{\frac{16x^8}{y^6}}=\frac{4x^4}{y^3}\)	\(\frac{4\cdot2^4}{4^3}=1\)	\(1\)
8	\(\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}=\frac{6x^2}{y}\)	\(\frac{6\cdot6^2}{9}=24\)	\(24\)
9	\(\sqrt{\frac{16x^4}{y^4}}=\frac{4x^2}{y^2}\)	\(\frac{4\cdot4^2}{2^2}=16\)	\(16\)
10	\(\sqrt{\frac{25x^4}{y^6}}=\frac{5x^2}{y^3}\)	\(\frac{5\cdot10^2}{5^3}=4\)	\(4\)
11	\(\sqrt{\frac{25x^2}{y^4}}=\frac{5x}{y^2}\)	\(\frac{5\cdot10}{5^2}=2\)	\(2\)

Далее:

12. \[ \sqrt{a^2+8ab+16b^2}=\sqrt{(a+4b)^2}=a+4b. \] При \(a=3\frac37=\frac{24}{7},\ b=\frac17\): \[ a+4b=\frac{24}{7}+\frac47=\frac{28}{7}=4. \] Ответ: \(4\).

13. \[ \sqrt{a^2+8ab+16b^2}=a+4b. \] При \(a=3\frac23=\frac{11}{3},\ b=\frac13\): \[ a+4b=\frac{11}{3}+\frac43=\frac{15}{3}=5. \] Ответ: \(5\).

14. \[ \sqrt{a^2+10ab+25b^2}=\sqrt{(a+5b)^2}=a+5b. \] При \(a=\frac7{11},\ b=\frac3{11}\): \[ a+5b=\frac7{11}+\frac{15}{11}=\frac{22}{11}=2. \] Ответ: \(2\).

15. \[ \sqrt{a^2+10ab+25b^2}=a+5b. \] Если на фото \(a=\frac6{13},\ b=\frac4{13}\), то: \[ a+5b=\frac6{13}+\frac{20}{13}=\frac{26}{13}=2. \] Ответ: \(2\).
    Если в числителе стоит \(14\), то будет \(\frac{34}{13}\).

Последняя строка на снимке обрезана: видны только \(b=\frac35\), а подкоренное выражение и значение \(a\) не читаются. Пришли этот фрагмент крупнее — решу его так же подробно.

Все задания с трёх снимков. Для корней использую главное правило: \[ \sqrt{X^2}=|X|. \] Поэтому, например, \[ \sqrt{a^2+8ab+16b^2}=\sqrt{(a+4b)^2}=|a+4b|. \]

Верхнее задание

\[ \sqrt{\frac{25x^2}{y^4}} = \frac{5x}{y^2} \] при \(x=10,\ y=5\): \[ \frac{5\cdot10}{5^2}=\frac{50}{25}=2. \]

Ответ: \(2\).

---

Задания на квадратные корни

1) \(\sqrt{a^2+8ab+16b^2}\) при \(a=3\frac37,\ b=\frac17\)

\[ a^2+8ab+16b^2=(a+4b)^2. \] \[ \sqrt{(a+4b)^2}=|a+4b|. \] \[ a+4b=\frac{24}{7}+\frac47=\frac{28}{7}=4. \]

Ответ: \(4\).

2) \(\sqrt{a^2+8ab+16b^2}\) при \(a=3\frac23,\ b=\frac13\)

\[ a+4b=\frac{11}{3}+\frac43=\frac{15}{3}=5. \]

Ответ: \(5\).

3) \(\sqrt{a^2+10ab+25b^2}\) при \(a=\frac7{11},\ b=\frac3{11}\)

\[ a^2+10ab+25b^2=(a+5b)^2. \] \[ a+5b=\frac7{11}+\frac{15}{11}=\frac{22}{11}=2. \]

Ответ: \(2\).

4) \(\sqrt{a^2+10ab+25b^2}\) при \(a=\frac6{13},\ b=\frac4{13}\)

Если в числителе стоит \(6\): \[ a+5b=\frac6{13}+\frac{20}{13}=\frac{26}{13}=2. \]

Ответ: \(2\).

Если в твоём условии действительно \(a=\frac{14}{13}\), то: \[ a+5b=\frac{14}{13}+\frac{20}{13}=\frac{34}{13}. \]

5) \(\sqrt{a^2+12ab+36b^2}\) при \(a=7\frac25,\ b=\frac35\)

\[ a^2+12ab+36b^2=(a+6b)^2. \] \[ a+6b=\frac{37}{5}+\frac{18}{5}=\frac{55}{5}=11. \]

Ответ: \(11\).

6) \(\sqrt{36a^2+12ab+b^2}\) при \(a=\frac45,\ b=8\frac15\)

\[ 36a^2+12ab+b^2=(6a+b)^2. \] \[ 6a+b=\frac{24}{5}+\frac{41}{5}=\frac{65}{5}=13. \]

Ответ: \(13\).

7) \(\sqrt{16a^2+8ab+b^2}\) при \(a=\frac3{11},\ b=5\frac{10}{11}\)

\[ 16a^2+8ab+b^2=(4a+b)^2. \] \[ 4a+b=\frac{12}{11}+\frac{65}{11}=\frac{77}{11}=7. \]

Ответ: \(7\).

8) \(\sqrt{9a^2+6ab+b^2}\) при \(a=\frac5{13},\ b=6\frac{11}{13}\)

\[ 9a^2+6ab+b^2=(3a+b)^2. \] \[ 3a+b=\frac{15}{13}+\frac{89}{13}=\frac{104}{13}=8. \]

Ответ: \(8\).

9) \(\sqrt{25a^2+10ab+b^2}\) при \(a=\frac49,\ b=3\frac79\)

\[ 25a^2+10ab+b^2=(5a+b)^2. \] \[ 5a+b=\frac{20}{9}+\frac{34}{9}=\frac{54}{9}=6. \]

Ответ: \(6\).

10) \(\sqrt{9a^2+6ab+b^2}\) при \(a=\frac45,\ b=7\frac35\)

\[ 9a^2+6ab+b^2=(3a+b)^2. \] \[ 3a+b=\frac{12}{5}+\frac{38}{5}=\frac{50}{5}=10. \]

Ответ: \(10\).

11) \(\sqrt{a^2+6ab+9b^2}\) при \(a=5,\ b=-4\)

\[ a^2+6ab+9b^2=(a+3b)^2. \] \[ a+3b=5-12=-7. \] \[ \sqrt{(-7)^2}=|-7|=7. \]

Ответ: \(7\).

12) \(\sqrt{a^2+8ab+16b^2}\) при \(a=3,\ b=-4\)

\[ a+4b=3-16=-13. \] \[ \sqrt{(-13)^2}=13. \]

Ответ: \(13\).

13) \(\sqrt{a^2+12ab+36b^2}\) при \(a=7,\ b=-3\)

\[ a+6b=7-18=-11. \] \[ \sqrt{(-11)^2}=11. \]

Ответ: \(11\).

14) \(\sqrt{a^2+10ab+25b^2}\) при \(a=8,\ b=-2\)

\[ a+5b=8-10=-2. \] \[ \sqrt{(-2)^2}=2. \]

Ответ: \(2\).

15) \(\sqrt{a^2+4ab+4b^2}\) при \(a=2,\ b=-4\)

\[ a+2b=2-8=-6. \] \[ \sqrt{(-6)^2}=6. \]

Ответ: \(6\).

16) \(\sqrt{a^2-4ab+4b^2}\) при \(a=3,\ b=4\)

\[ a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2. \] \[ a-2b=3-8=-5. \] \[ \sqrt{(-5)^2}=5. \]

Ответ: \(5\).

17) \(\sqrt{a^2-8ab+16b^2}\) при \(a=4,\ b=3\)

\[ a^2-8ab+16b^2=(a-4b)^2. \] \[ a-4b=4-12=-8. \] \[ \sqrt{(-8)^2}=8. \]

Ответ: \(8\).

18) \(\sqrt{a^2-12ab+36b^2}\) при \(a=8,\ b=3\)

\[ a^2-12ab+36b^2=(a-6b)^2. \] \[ a-6b=8-18=-10. \] \[ \sqrt{(-10)^2}=10. \]

Ответ: \(10\).

19) \(\sqrt{a^2-10ab+25b^2}\) при \(a=7,\ b=2\)

\[ a^2-10ab+25b^2=(a-5b)^2. \] \[ a-5b=7-10=-3. \] \[ \sqrt{(-3)^2}=3. \]

Ответ: \(3\).

20) \(\sqrt{a^2-6ab+9b^2}\) при \(a=3,\ b=6\)

\[ a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2. \] \[ a-3b=3-18=-15. \] \[ \sqrt{(-15)^2}=15. \]

Ответ: \(15\).

---

Задания со степенями

21) \((16\cdot10^{-2})^2\cdot(13\cdot10^4)\)

\[ 16^2\cdot10^{-4}\cdot13\cdot10^4 = 256\cdot13 = 3328. \]

Ответ: \(3328\).

22) \((8\cdot10^2)^2\cdot(3\cdot10^{-2})\)

\[ 8^2\cdot10^4\cdot3\cdot10^{-2} = 64\cdot3\cdot10^2 = 19200. \]

Ответ: \(19200\).

23) \((6\cdot10^2)^2\cdot(14\cdot10^{-2})\)

\[ 6^2\cdot10^4\cdot14\cdot10^{-2} = 36\cdot14\cdot10^2 = 50400. \]

Ответ: \(50400\).

24) \((6\cdot10^2)^3\cdot(13\cdot10^{-5})\)

\[ 6^3\cdot10^6\cdot13\cdot10^{-5} = 216\cdot13\cdot10 = 28080. \]

Ответ: \(28080\).

25) \((9\cdot10^{-2})^2\cdot(11\cdot10^5)\)

\[ 9^2\cdot10^{-4}\cdot11\cdot10^5 = 81\cdot11\cdot10 = 8910. \]

Ответ: \(8910\).

26) \((2\cdot10^2)^4\cdot(19\cdot10^{-6})\)

\[ 2^4\cdot10^8\cdot19\cdot10^{-6} = 16\cdot19\cdot10^2 = 30400. \]

Ответ: \(30400\).

27) \((8\cdot10^2)^3\cdot(12\cdot10^{-5})\)

\[ 8^3\cdot10^6\cdot12\cdot10^{-5} = 512\cdot12\cdot10 = 61440. \]

Ответ: \(61440\).