реши 105 .106. 107

Question

реши 105 .106. 107

Расшифровка фото нейросетью:
105
Точки A и C лежат по одну сторону от прямой a. Перпендикуляры AB и CD к прямой a равны.
а) Докажите, что $\angle ABD=\angle CDB$;
б) найдите $\angle ABC$, если $\angle ADB=44^\circ$.

106
Медиана AD треугольника ABC продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка E соединена с точкой C.
а) Докажите, что $\angle ABD=\angle ECD$;
б) найдите $\angle ACE$, если $\angle ACD=56^\circ$, $\angle ABD=40^\circ$.

107
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABM равен 24 см.

Answer

Кратко: 105 б) $46^\circ$; 106 б) $96^\circ$; 107) $AM=8$ см.

105

а) Так как $BD$ лежит на прямой $a$, а $AB\perp a$, то
$$
\angle ABD=90^\circ.
$$
Аналогично $CD\perp a$, поэтому
$$
\angle CDB=90^\circ.
$$
Значит, $\angle ABD=\angle CDB$.

б) Прямоугольные треугольники $ABD$ и $CDB$ равны по двум катетам: $AB=CD$, $BD$ — общая. Поэтому
$$
\angle CBD=\angle ADB=44^\circ.
$$
Тогда
$$
\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD=90^\circ-44^\circ=46^\circ.
$$

Ответ: $46^\circ$.

106

а) $D$ — середина $BC$, поэтому $BD=DC$. По условию $AD=DE$, а углы $\angle ADB$ и $\angle EDC$ равны как вертикальные. Значит,
$$
\triangle ABD\cong \triangle ECD
$$
по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, соответствующие углы равны:
$$
\angle ABD=\angle ECD.
$$

б) Из доказанного
$$
\angle ECD=\angle ABD=40^\circ.
$$
При этом $\angle ACD=56^\circ$, а луч $CD$ проходит внутри $\angle ACE$. Поэтому
$$
\angle ACE=\angle ACD+\angle DCE=56^\circ+40^\circ=96^\circ.
$$

Ответ: $96^\circ$.

107

Пусть $AB=AC=x$ — боковые стороны, $BM=MC=y$, $AM=m$. Так как $AM$ — медиана, $M$ — середина $BC$.

Периметр треугольника $ABC$:
$$
2x+2y=32 \quad\Rightarrow\quad x+y=16.
$$
Периметр треугольника $ABM$:
$$
x+y+m=24.
$$
Подставляем $x+y=16$:
$$
16+m=24 \quad\Rightarrow\quad m=8.
$$

Ответ: $AM=8$ см.