125 В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений; 124 Сравнить значения выражений

Я разобрал оба номера. Обозначения: \(D(y)\) — область определения, \(E(y)\) — множество значений.

№ 125

1) \(y=x^3\) и \(y=\sqrt[3]{x}\)

\[ D(y)=\mathbb R,\qquad E(y)=\mathbb R \] у обеих функций.

• \(y=x^3\) — нечётная возрастающая функция; проходит через \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\).
• \(y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}\) — тоже нечётная возрастающая; проходит через те же точки.
• Графики симметричны относительно прямой \(y=x\). При \(|x|>1\) график \(x^3\) уходит круче, а около нуля круче поднимается \(\sqrt[3]{x}\).
• Точки пересечения: \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\).

2) \(y=x^4\) и \(y=\sqrt[4]{x}\)

\[ y=x^4:\quad D(y)=\mathbb R,\quad E(y)=[0;+\infty); \] \[ y=\sqrt[4]{x}:\quad D(y)=[0;+\infty),\quad E(y)=[0;+\infty). \]

• \(y=x^4\) — чётная функция, график симметричен относительно \(Oy\), вершина в \((0;0)\); проходит через \((\pm1;1)\).
• \(y=\sqrt[4]{x}\) существует только при \(x\ge0\), возрастает; проходит через \((0;0)\), \((1;1)\), \((16;2)\).
• На промежутке \([0;+\infty)\) эти функции взаимно обратны, поэтому их графики симметричны относительно \(y=x\).
• Точки пересечения: \((0;0)\) и \((1;1)\).

3) \(y=x^2\) и \(y=x^{-2}\)

\[ y=x^2:\quad D(y)=\mathbb R,\quad E(y)=[0;+\infty); \] \[ y=x^{-2}=\frac1{x^2}:\quad D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\quad E(y)=(0;+\infty). \]

• \(y=x^2\) — обычная парабола с вершиной в \((0;0)\).
• \(y=x^{-2}\) — чётная функция; две ветви выше оси \(Ox\), проходят через \((-1;1)\) и \((1;1)\).
• Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\). При \(x\to0\) значения уходят в \(+\infty\), при \(x\to\pm\infty\) приближаются к нулю.
• Точки пересечения: \((-1;1)\) и \((1;1)\).
• При \(0<|x|<1\) график \(x^{-2}\) выше параболы, при \(|x|>1\) — ниже.

4) \(y=x^5\) и \(y=x^{-5}\)

\[ y=x^5:\quad D(y)=\mathbb R,\quad E(y)=\mathbb R; \] \[ y=x^{-5}=\frac1{x^5}:\quad D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \] \[ E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]

• \(y=x^5\) — нечётная возрастающая функция; проходит через \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\).
• \(y=x^{-5}\) — нечётная функция; на каждом из промежутков \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\) убывает.
• Ветви расположены в I и III четвертях: при \(x>0\) значения положительны, при \(x<0\) отрицательны.
• Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\). При \(x\to0^+\) значения уходят в \(+\infty\), при \(x\to0^-\) — в \(-\infty\).
• Точки пересечения: \((-1;-1)\) и \((1;1)\).

Общий принцип: у чётной степени область значений неотрицательна; у нечётной — все действительные числа. Отрицательная степень исключает \(x=0\); чётная отрицательная степень даёт только положительные значения, нечётная — все, кроме нуля.

№ 124

Сравнения:

1. \(3{,}1^7<4{,}3^7\);
2. \(\left(\dfrac{10}{11}\right)^3<\left(\dfrac{12}{11}\right)^3\);
3. \(0{,}3^8>0{,}2^8\);
4. \(2{,}5^2<2{,}6^2\);
5. \(\left(\dfrac79\right)^{-2}>\left(\dfrac8{10}\right)^{-2}\);
6. \(\left(\dfrac{14}{15}\right)^{-6}>\left(\dfrac{15}{16}\right)^{-6}\);
7. \((4\sqrt3)^{-3}<(3\sqrt4)^{-3}\);
8. \((2\sqrt[3]{6})^{-5}>(6\sqrt[3]{2})^{-5}\).

Почему так:

• Для положительных \(a<b\): при положительном показателе \(a^n<b^n\), а при отрицательном \(a^n>b^n\). Поэтому в заданиях 1–4 сравниваем основания напрямую, а в 5–8 отрицательная степень «переворачивает» неравенство.
• В 5) \(\frac79<\frac8{10}\), значит после степени \(-2\) знак меняется на \(>\).
• В 6) \(\frac{14}{15}<\frac{15}{16}\), значит после степени \(-6\) знак тоже меняется на \(>\).
• В 7) \(4\sqrt3>3\sqrt4\), так как \((4\sqrt3)^2=48\), а \((3\sqrt4)^2=36\). Степень \(-3\) переворачивает сравнение.
• В 8) \(2\sqrt[3]{6}<6\sqrt[3]{2}\), так как их кубы равны \(48\) и \(432\). Степень \(-5\) переворачивает сравнение.