1. Найдите координаты вектора AB, если A(6; 3; -2), B(2; 4; -5).

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. Найдите координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, если A(6; 3; -2), B(2; 4; -5).

2. Даны векторы $\vec a\{5; -1; 2\}$ и $\vec b\{3; 2; -4\}$. Найдите $|\vec a - 2\vec b|$.

3. Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку B(-2; -3; 4). Найдите расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

4. Вершины $\Delta ABC$ имеют координаты:
A(-1; 2; 3), B(1; 0; 4), C(3; -2; 1).
Найдите координаты вектора $\overrightarrow{AM}$, если AM – медиана $\Delta ABC$.

Answer

Краткие ответы

1. $\overrightarrow{AB}=(-4;1;-3)$.

2. $|\vec a-2\vec b|=\sqrt{126}=3\sqrt{14}$.

3. Точка $B(-2;-3;4)$. Расстояния: до плоскости $Oxy$ — $4$, до $Oxz$ — $3$, до $Oyz$ — $2$.

4. $\overrightarrow{AM}=\left(3;-3;-\frac12\right)$.

Как решать

1. Координаты вектора — это «конец минус начало»:
$$
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A).
$$
$$
\overrightarrow{AB}=(2-6;\ 4-3;\ -5-(-2))=(-4;1;-3).
$$

2. Сначала умножим вектор $\vec b$ на $2$, затем вычтем покоординатно:
$$
2\vec b=(6;4;-8),
$$
$$
\vec a-2\vec b=(5-6;\ -1-4;\ 2-(-8))=(-1;-5;10).
$$
Длина вектора:
$$
|\vec a-2\vec b|=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2+10^2}
=\sqrt{1+25+100}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}.
$$

3. В системе $Oxyz$ откладываем от начала координат:

по $Ox$ — $2$ единицы в отрицательном направлении;

по $Oy$ — $3$ единицы в отрицательном направлении;

по $Oz$ — $4$ единицы вверх.

Расстояние от точки до координатной плоскости равно модулю соответствующей координаты:
$$
\rho(B;Oxy)=|z|=4,\qquad
\rho(B;Oxz)=|y|=3,\qquad
\rho(B;Oyz)=|x|=2.
$$

4. Медиана $AM$ идёт из вершины $A$ в середину $M$ стороны $BC$:
$$
M\left(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2};\frac{z_B+z_C}{2}\right)
=\left(\frac{1+3}{2};\frac{0-2}{2};\frac{4+1}{2}\right)
=\left(2;-1;\frac52\right).
$$
Тогда
$$
\overrightarrow{AM}=\left(2-(-1);\ -1-2;\ \frac52-3\right)
=\left(3;-3;-\frac12\right).
$$