1. Найдите координаты вектора AB, если A(6; 3; -2), B(2; 4; -5). 2. Даны векторы a{5; -1; 2} и b{3; 2; -4}. Найдите |a - 2b|.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Найдите координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\), если A(6; 3; -2), B(2; 4; -5).
- Даны векторы \(\vec{a}\{5; -1; 2\}\) и \(\vec{b}\{3; 2; -4\}\). Найдите \(\left|\vec{a}-2\vec{b}\right|\).
- Изобразите систему координат \(Oxyz\) и постройте точку \(B(-2; -3; 4)\). Найдите расстояние от этой точки до координатных плоскостей.
- Вершины \(\triangle ABC\) имеют координаты: \(A(-1; 2; 3)\), \(B(1; 0; 4)\), \(C(3; -2; 1)\).
Найдите координаты вектора \(\overrightarrow{AM}\), если \(AM\) — медиана \(\triangle ABC\).
Кратко:
- \(\overrightarrow{AB}=(-4;\,1;\,-3)\).
- \(\left|\vec a-2\vec b\right|=3\sqrt{14}\).
- Расстояния до плоскостей \(Oyz\), \(Oxz\), \(Oxy\) равны \(2\), \(3\), \(4\).
- \(\overrightarrow{AM}=\left(3;\,-3;\,-\dfrac12\right)\).
Как это получается
1. Вектор \(\overrightarrow{AB}\)
Из координат конца вычитаем координаты начала:
\[
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A)
\]
\[
\overrightarrow{AB}=(2-6;\,4-3;\,-5-(-2))=(-4;\,1;\,-3).
\]
2. Модуль \(\left|\vec a-2\vec b\right|\)
Сначала умножим \(\vec b\) на \(2\), затем вычтем покоординатно:
\[
2\vec b=(6;\,4;\,-8),
\]
\[
\vec a-2\vec b=(5-6;\,-1-4;\,2-(-8))=(-1;\,-5;\,10).
\]
Длина вектора — корень из суммы квадратов координат:
\[
\left|\vec a-2\vec b\right|=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2+10^2}
=\sqrt{126}=3\sqrt{14}.
\]
3. Точка \(B(-2;-3;4)\) и расстояния до координатных плоскостей
Плоскость \(Oyz\) имеет уравнение \(x=0\), поэтому расстояние до неё равно \(|x|\):
\[
d_{Oyz}=|-2|=2.
\]
Аналогично:
\[
d_{Oxz}=|y|=|-3|=3,\qquad d_{Oxy}=|z|=4.
\]
Чтобы построить точку \(B\): на плоскости \(Oxy\) отметьте точку \((-2;-3;0)\), затем поднимитесь от неё на \(4\) единицы параллельно оси \(Oz\). Точка лежит в области \(x<0,\ y<0,\ z>0\).
4. Медиана \(AM\)
Медиана из вершины \(A\) приходит в середину \(BC\). Поэтому сначала находим \(M\) — середину \(BC\):
\[
M=\left(\frac{x_B+x_C}{2};\,\frac{y_B+y_C}{2};\,\frac{z_B+z_C}{2}\right)
\]
\[
M=\left(\frac{1+3}{2};\,\frac{0+(-2)}{2};\,\frac{4+1}{2}\right)
=(2;\,-1;\,2{,}5).
\]
Теперь:
\[
\overrightarrow{AM}=(2-(-1);\,-1-2;\,2{,}5-3)
=(3;\,-3;\,-0{,}5).
\]
Проверка: для №4 \(\overrightarrow{BM}=(1;-1;-1{,}5)=\overrightarrow{MC}\), значит \(M\) действительно середина \(BC\). В №2 \(3\sqrt{14}\) в квадрате даёт \(126\), всё сходится.
