реши задачи
Сверь числа и знаки с фото.
Условие: Медиана \(BM\) треугольника \(ABC\) продолжена за точку \(M\) на отрезок \(MD\), равный \(BM\), и точка \(D\) соединена с точкой \(C\). а) Докажите, что \(\triangle ABM = \triangle DCM\); б) Найдите \(\angle BCD\), если \(\angle BCM = 62^\circ\), \(\angle ABM = 35^\circ\).
Краткий ответ:
а) \(\triangle ABM=\triangle DCM\) по двум сторонам и углу между ними;
б) \(\angle BCD=97^\circ\).
Ключевые шаги
Так как \(BM\) — медиана, то
\[ AM=MC. \]По условию
\[ BM=MD. \]Углы \(\angle AMB\) и \(\angle CMD\) вертикальные, поэтому
\[ \angle AMB=\angle CMD. \]
Значит, треугольники \(ABM\) и \(DCM\) равны по первому признаку: по двум сторонам и углу между ними.
В равных треугольниках соответствующие углы равны. В записи \(\triangle ABM=\triangle DCM\) углу \(ABM\) соответствует угол \(DCM\), поэтому
\[ \angle DCM=\angle ABM=35^\circ. \]Луч \(CM\) проходит внутри угла \(BCD\), поэтому
\[ \angle BCD=\angle BCM+\angle MCD. \] Подставляем данные: \[ \angle BCD=62^\circ+35^\circ=97^\circ. \]
Проверка: \(97^\circ>62^\circ\), то есть угол \(BCD\) больше угла \(BCM\), как и должно быть, поскольку луч \(CM\) делит его на две части.
Обсуждение
2 сообщенияНачерти рисунок к этой задаче
Вот схема (не в масштабе; \(BM\) не обязательно перпендикулярна \(AC\)):
B
/|\
/ | \
/ | \
A---M---C
\ | /
\ | /
\|/
D
Как чертить:
- Проведи \(AC\), отметь середину \(M\).
- Поставь точку \(B\) вне \(AC\), проведи медиану \(BM\).
- Продли \(BM\) за точку \(M\) и отложи \(MD=BM\).
- Соедини \(D\) с \(C\); для наглядности можно соединить и \(D\) с \(A\).
- Отметь \(AM=MC\), \(BM=MD\), \(\angle ABM=35^\circ\), \(\angle BCM=62^\circ\).
Уточнение к прошлому решению: из равенства треугольников следует \(\angle DCM=\angle BAM\), а не \(\angle ABM\). По буквально указанным \(\angle ABM=35^\circ\) и \(\angle BCM=62^\circ\) такого треугольника с медианой \(BM\) не существует — видимо, в задачнике опечатка. Если имелось в виду \(\angle BAM=35^\circ\), то ответ \(\angle BCD=97^\circ\) остаётся верным.
