Обяснт просто как это решается
Сверь числа и знаки с фото.
Выберите год учебника Все года 2023–2026 2013–2022
№324 учебника 2023–2026 (стр. 77): Вычислите: а) \((2-\sqrt{5})^{2}+4\sqrt{5}\); б) \((5+\sqrt{3})^{2}-10\sqrt{3}\); в) \((2-\sqrt{5})^{2}+(2+\sqrt{5})^{2}\); г) \((5+\sqrt{3})^{2}+(5-\sqrt{3})^{2}\).
№324 учебника 2013–2022 (стр. 79): Решите уравнение: а) \((x-3)^{2}=25\); б) \((x+4)^{2}=9\);
budu5.com
Кратко
Вычислите (№324, с. 77):
а) \(9\); б) \(28\); в) \(18\); г) \(56\).
Уравнения (№324, с. 79):
а) \(x=8\) или \(x=-2\); б) \(x=-1\) или \(x=-7\).
Главный принцип: две формулы
Почти всё задание держится на двух вещах:
\[ (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2 \]
\[ (\sqrt{n})^2=n \]
Смысл такой: когда раскрываешь квадрат, в середине появляется слагаемое с корнем (например, \(4\sqrt5\)), а в условии рядом стоит точно такое же слагаемое с обратным знаком — они взаимно уничтожаются. В итоге корень исчезает, остаётся обычное число.
а) \((2-\sqrt5)^2+4\sqrt5\)
Раскрываю квадрат разности:
\[ (2-\sqrt5)^2=2^2-2\cdot 2\cdot\sqrt5+(\sqrt5)^2=4-4\sqrt5+5=9-4\sqrt5 \]
Теперь прибавляю \(4\sqrt5\):
\[ 9-4\sqrt5+4\sqrt5=9 \]
б) \((5+\sqrt3)^2-10\sqrt3\)
\[ (5+\sqrt3)^2=25+2\cdot 5\cdot\sqrt3+3=28+10\sqrt3 \]
\[ 28+10\sqrt3-10\sqrt3=28 \]
в) и г) — хитрость, чтобы не считать дважды
Если в выражении стоят \((a-b)^2+(a+b)^2\), то средние слагаемые сокращаются сразу:
\[ (a-b)^2+(a+b)^2=2a^2+2b^2 \]
в) \(2\cdot 2^2+2\cdot(\sqrt5)^2=2\cdot 4+2\cdot 5=8+10=18\)
г) \(2\cdot 5^2+2\cdot(\sqrt3)^2=2\cdot 25+2\cdot 3=50+6=56\)
Можно проверить и «в лоб»: в) \((9-4\sqrt5)+(9+4\sqrt5)=18\), г) \((28+10\sqrt3)+(28-10\sqrt3)=56\) — совпадает.
Уравнения из нижнего блока
Правило: если \(y^2=c\) и \(c>0\), то \(y=\sqrt{c}\) или \(y=-\sqrt{c}\) — корня два, про минус забывать нельзя.
а) \((x-3)^2=25\)
\[ x-3=5 \quad \text{или} \quad x-3=-5 \]
\[ x=8 \quad \text{или} \quad x=-2 \]
Проверка: \((8-3)^2=25\) ✓, \((-2-3)^2=25\) ✓.
б) \((x+4)^2=9\)
\[ x+4=3 \quad \text{или} \quad x+4=-3 \]
\[ x=-1 \quad \text{или} \quad x=-7 \]
Проверка: \((-1+4)^2=9\) ✓, \((-7+4)^2=9\) ✓.
Что запомнить
- Квадрат суммы/разности раскрывается через \(a^2\pm 2ab+b^2\).
- \((\sqrt{n})^2=n\) — корень в квадрате даёт подкоренное число.
- Если после раскрытия осталось \(число \pm k\sqrt{n}\), а рядом стоит \(\mp k\sqrt{n}\) — они дают ноль.
- Из \(y^2=c\) всегда два корня: \(y=\pm\sqrt{c}\).
Обсуждение
6 сообщенийПочему домнажаем на 2 под г
Потому что в пункте г) два одинаковых слагаемых, и каждое берётся по два раза. Двойка — это не «дополнительное умножение», а просто «таких кусков два».
Раскроем обе скобки:
\[ (5+\sqrt3)^2=25+10\sqrt3+3 \]
\[ (5-\sqrt3)^2=25-10\sqrt3+3 \]
Теперь складываем:
\[ 25+10\sqrt3+3+25-10\sqrt3+3 \]
Слагаемые \(10\sqrt3\) и \(-10\sqrt3\) взаимно уничтожаются. Остаётся:
\[ 25+3+25+3=56 \]
Видно, что \(25\) встретилось дважды и \(3\) встретилось дважды. Поэтому запись можно сократить:
\[ 2\cdot 25+2\cdot 3=2\cdot 5^2+2\cdot(\sqrt3)^2 \]
Отсюда и общая формула:
\[ (a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2 \]
В г) \(a=5\), \(b=\sqrt3\):
\[ 2\cdot 5^2+2\cdot(\sqrt3)^2=2\cdot 25+2\cdot 3=50+6=56 \]
То есть двойка появляется потому, что в каждой скобке есть \(a^2\) и \(b^2\), а скобок две. Если раскрывать обе скобки полностью и складывать, получится то же самое — формула просто короче.
Я вообще не поняла это решать 😫😭 и под а
Понимаю, с корнями поначалу всё выглядит как шифр. Давай разберём только пункт а) медленно, по шагам — и ты увидишь, что там нет ничего нового.
Шаг 0. Главная мысль
\(\sqrt5\) — это просто число (примерно \(2{,}236\)). Его не надо вычислять. С ним можно обращаться как с буквой \(x\).
Давай на время обозначим \(\sqrt5 = t\). Тогда пункт а) выглядит так:
\[ (2-t)^2+4t \]
Уже не страшно, правда?
Шаг 1. Раскрываем квадрат
Формула квадрата разности:
\[ (2-t)^2=2^2-2\cdot 2\cdot t+t^2=4-4t+t^2 \]
Теперь возвращаем \(t=\sqrt5\):
- \(4\) остаётся \(4\);
- \(4t\) превращается в \(4\sqrt5\);
- \(t^2\) — это \((\sqrt5)^2\).
А \((\sqrt5)^2=5\), потому что квадрат и корень — противоположные действия, они уничтожают друг друга. Как \((\sqrt9)^2=3^2=9\), так и \((\sqrt5)^2=5\).
Значит:
\[ (2-\sqrt5)^2=4-4\sqrt5+5=9-4\sqrt5 \]
Шаг 2. Прибавляем \(4\sqrt5\)
\[ 9-4\sqrt5+4\sqrt5 \]
Смотри: было «минус четыре корня», прибавили «плюс четыре корня». Это как \(-4\) яблока плюс \(4\) яблока — вместе ноль.
\[ -4\sqrt5+4\sqrt5=0 \]
Остаётся:
\[ 9+0=9 \]
Вся запись целиком
\[ (2-\sqrt5)^2+4\sqrt5=(4-4\sqrt5+5)+4\sqrt5=9-4\sqrt5+4\sqrt5=9 \]
Ответ: \(9\).
Что здесь важно понять
- \((\sqrt5)^2=5\) — корень в квадрате даёт подкоренное число.
- \(2\cdot 2\cdot\sqrt5=4\sqrt5\) — обычные числа перемножаются, корень просто «приписывается».
- \(-4\sqrt5\) и \(+4\sqrt5\) взаимно уничтожаются — в этом весь фокус задания: специально подобрали такое число, чтобы корни исчезли.
Проверь себя: в пункте б) точно так же \((\sqrt3)^2=3\), а \(10\sqrt3\) и \(-10\sqrt3\) сократятся. Хочешь, разберём б) вместе — ты попробуешь сама, а я подскажу, если застрянешь?
Откуда 9
Девятка — это \(4+5\). Смотри, откуда берутся эти два числа.
Раскрываем квадрат по формуле \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), где \(a=2\), \(b=\sqrt5\):
\[ (2-\sqrt5)^2=2^2-2\cdot 2\cdot\sqrt5+(\sqrt5)^2 \]
Считаю каждый кусок:
| кусок | что получается | почему |
|---|---|---|
| \(2^2\) | \(4\) | дважды два |
| \(2\cdot 2\cdot\sqrt5\) | \(4\sqrt5\) | обычные числа перемножили, корень оставили |
| \((\sqrt5)^2\) | \(5\) | корень и квадрат «съедают» друг друга |
Получается:
\[ 4-4\sqrt5+5 \]
Вот здесь \(4\) и \(5\) — это просто числа, они складываются, потому что стоят рядом и не привязаны к корню:
\[ 4+5=9 \]
Итог:
\[ (2-\sqrt5)^2=9-4\sqrt5 \]
То есть \(9\) — это \(2^2+(\sqrt5)^2=4+5\). Девятка складывается из крайних слагаемых формулы: первый квадрат плюс второй квадрат.
\(\mathbf{-4\sqrt5}\) при этом в девятку не входит — это отдельное, среднее слагаемое, оно потом и сократится с \(+\,4\sqrt5\) из условия.
Проверка на числах
\(\sqrt5\approx 2{,}236\).
\[ 2-2{,}236=-0{,}236, \qquad (-0{,}236)^2\approx 0{,}056 \]
Это и есть \(9-4\sqrt5\approx 9-8{,}944=0{,}056\). ✓
А всё выражение:
\[ 0{,}056+4\sqrt5\approx 0{,}056+8{,}944\approx 9 \]
Совпадает.
Коротко: \(9=4+5=2^2+(\sqrt5)^2\) — сумма квадратов двух частей скобки.
