143 номер как записать в тетрадь
Записывай через равенство треугольников по трём сторонам. Рисунок 81 можно перечертить и отметить равные отрезки: \(AB=CD\), \(BD=AC\).
№ 143
Дано: \(AB=CD\), \(BD=AC\).
Доказать: а) \(\angle CAD=\angle ADB\); б) \(\angle BAC=\angle CDB\).
Доказательство:
а) Рассмотрим \(\triangle ACD\) и \(\triangle DBA\). У них:
\[ AC=BD,\qquad CD=AB,\qquad AD=DA. \]
Значит, \(\triangle ACD \cong \triangle DBA\) по трём сторонам. В равных треугольниках соответствующие углы равны, поэтому
\[ \angle CAD=\angle BDA. \]
Но \(\angle BDA\) и \(\angle ADB\) — один и тот же угол. Следовательно,
\[ \angle CAD=\angle ADB. \]
б) Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle DCB\). У них:
\[ AB=CD,\qquad AC=DB,\qquad BC=CB. \]
Значит, \(\triangle ABC \cong \triangle DCB\) по трём сторонам. Следовательно,
\[ \angle BAC=\angle CDB. \]
Что важно понять: в записи равенства треугольников порядок букв показывает, какие вершины и углы соответствуют друг другу. Поэтому пишем \(\triangle ACD \cong \triangle DBA\), а не в произвольном порядке.
Обсуждение
2 сообщения146 как записать в тетрадь
Записывай так:
№ 146
Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\); \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы;
\(AB=A_1B_1\), \(BD=B_1D_1\), \(AD=A_1D_1\).
Доказать: \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\).
Доказательство:
- Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle A_1B_1D_1\). У них
\[ AB=A_1B_1,\qquad BD=B_1D_1,\qquad AD=A_1D_1. \]
Значит, \(\triangle ABD\cong\triangle A_1B_1D_1\) по трём сторонам.
- В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому
\[ \angle BAD=\angle B_1A_1D_1,\qquad \angle ABD=\angle A_1B_1D_1. \]
- Так как \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы, то
\[ \angle BAC=2\angle BAD,\qquad \angle B_1A_1C_1=2\angle B_1A_1D_1. \]
Следовательно,
\[ \angle BAC=\angle B_1A_1C_1. \]
- Точки \(D\) и \(D_1\) лежат на сторонах \(BC\) и \(B_1C_1\), поэтому
\[ \angle ABC=\angle ABD=\angle A_1B_1D_1=\angle A_1B_1C_1. \]
- Итак, в \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\):
\[ AB=A_1B_1,\qquad \angle BAC=\angle B_1A_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1. \]
Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.
\[ \boxed{\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1} \]
Что важно понять: сначала доказываем равенство «маленьких» треугольников \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\), а потом переносим равенство углов на «большие» треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\).
