Сделать 5

Краткий ответ

Запись \(D_n\) означает множество всех натуральных делителей числа \(n\).

\[ D_{18}=\{1;2;3;6;9;18\} \] \[ D_{11}=\{1;11\} \] \[ D_{50}=\{1;2;5;10;25;50\} \] \[ D_{1}=\{1\} \] \[ D_{92}=\{1;2;4;23;46;92\} \] \[ D_{65}=\{1;5;13;65\} \]

Как это устроено

Главная идея. Делители всегда идут парами: если \(d\) делит \(n\), то и \(n:d\) делит \(n\). Поэтому перебирать все числа до \(n\) не нужно — достаточно проверить числа от 1 до \(\sqrt{n}\), а второе число каждой пары сразу записывать.

Пример для 18. \(\sqrt{18}\approx 4{,}2\), проверяем 1, 2, 3, 4:

• \(1\cdot 18\) — пара \(\{1;18\}\);
• \(2\cdot 9\) — пара \(\{2;9\}\);
• \(3\cdot 6\) — пара \(\{3;6\}\);
• 4 не делит 18.

Собираем: \(\{1;2;3;6;9;18\}\).

Пример для 92. \(\sqrt{92}\approx 9{,}6\), проверяем 1…9:

• \(1\cdot 92\);
• \(2\cdot 46\);
• 3 не делит (9 + 2 = 11 не делится на 3);
• \(4\cdot 23\);
• 5, 6, 7, 8, 9 не делят.

Итого \(\{1;2;4;23;46;92\}\).

Остальные по той же схеме.

• 50: \(\sqrt{50}\approx 7{,}1\); \(1\cdot 50\), \(2\cdot 25\), \(5\cdot 10\) → \(\{1;2;5;10;25;50\}\).
• 65: \(\sqrt{65}\approx 8{,}1\); \(1\cdot 65\), \(5\cdot 13\), остальные не подходят → \(\{1;5;13;65\}\).
• 11 простое, поэтому только оно само и 1 → \(\{1;11\}\).
• 1 делится только на себя → \(\{1\}\).

Проверка. Полезно пересчитать делители парами: \[ 18=1\cdot18=2\cdot9=3\cdot6,\quad 92=1\cdot92=2\cdot46=4\cdot23, \] \[ 50=1\cdot50=2\cdot25=5\cdot10,\quad 65=1\cdot65=5\cdot13. \] У 18, 50 и 92 по 6 делителей, у 65 — 4, у 11 — 2, у 1 — один. Так и должно быть: если число не полный квадрат, делителей чётное количество, ведь они разбиваются на пары; 1 — полный квадрат, отсюда нечётное число делителей.