сделайте пожалуйста понятно для записи в тетради

По фото: \(6x^2+tx+6=0\), где \(t\) — параметр.

Коротко. Дискриминант: \[ D=t^2-144=t^2-12^2. \] Если в задании нужны два различных действительных корня, то \(t<-12\) или \(t>12\). При \(t=\pm12\) корень один; при \(-12<t<12\) действительных корней нет.

Запись в тетрадь. \[ a=6,\quad b=t,\quad c=6; \] \[ D=b^2-4ac=t^2-4\cdot6\cdot6=t^2-144. \] \[ x_{1,2}=\frac{-t\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{-t\pm\sqrt{t^2-144}}{12} \quad \text{при } |t|\ge 12. \]

Если нужны два различных корня: \[ D>0, \] \[ t^2-144>0, \] \[ (t-12)(t+12)>0. \] Отсюда: \[ t<-12 \quad \text{или}\quad t>12, \] то есть \[ t\in(-\infty;-12)\cup(12;+\infty). \]

Остальные случаи: \[ D=0:\quad t=\pm12,\quad x=-\frac{t}{12}. \] При \(t=12\): \(x=-1\); при \(t=-12\): \(x=1\). \[ D<0:\quad -12<t<12, \] действительных корней нет.

Если в задании сказано «имеет хотя бы один корень», то \(D\ge0\), то есть \(t\le-12\) или \(t\ge12\).

Проверка. При \(t=13\): \[ D=13^2-144=25>0, \] \[ x_{1,2}=\frac{-13\pm5}{12} =-\frac{2}{3};\ -\frac{3}{2}. \] При \(t=0\): \(D=-144<0\), корней нет. Знак дискриминанта определяет число корней верно.