Реши 314
Ответ: \(T=10\) Н.
Как решать
Груз движется по окружности радиуса \(L=20\) см \(=0{,}2\) м. В направлении к точке подвеса у него есть центростремительное ускорение:
\[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{L}. \]
На груз вдоль нити действуют:
- сила натяжения нити \(T\) — к точке подвеса;
- составляющая силы тяжести \(mg\cos 60^\circ\) — от точки подвеса.
Поэтому второй закон Ньютона в радиальном направлении:
\[ T-mg\cos60^\circ=\frac{mv^2}{L}. \]
Отсюда:
\[ T=mg\cos60^\circ+\frac{mv^2}{L}. \]
Подставляем данные:
\[ T=1\cdot10\cdot\frac12+\frac{1\cdot1^2}{0{,}2} =5+5=10\ \text{Н}. \]
Проверка единиц: \(\text{кг}\cdot\text{м/с}^2=\text{Н}\), всё сходится.
Ответ: сила натяжения нити в этот момент равна 10 Н.
Обсуждение
4 сообщенияСделай рисунок с указанием сил и осей
Я бы нарисовал так: \(O\) — точка подвеса, \(M\) — груз.
Y ↑
│
O │
● │
┆╲ │
┆ ╲ │
┆ ╲ │
┆60°╲ │
┆ ╲ │
┆ T ╲│
┆ ↖ ● M ─────────→ X
┆ ╱
┆ v ↙
┆ ↓ mg
Обозначения:
- \(O\) — точка подвеса;
- \(M\) — груз;
- пунктирная вертикаль — для отсчёта угла \(60^\circ\);
- \(\vec T\) — сила натяжения нити, направлена вдоль нити к \(O\);
- \(m\vec g\) — сила тяжести, направлена вертикально вниз;
- \(\vec v\) — скорость груза, направлена по касательной к траектории;
- оси \(X\) и \(Y\) проведены через груз: \(X\) — горизонтально вправо, \(Y\) — вертикально вверх.
Составляющая силы тяжести вдоль нити направлена от точки подвеса и равна \(mg\cos60^\circ\). Поэтому для оси, направленной вдоль нити к \(O\),
\[ T-mg\cos60^\circ=\frac{mv^2}{L}. \]
Направление \(\vec v\) на рисунке можно выбрать к положению равновесия или от него — на величину \(T\) это не влияет, так как в формулу входит \(v^2\).
Почему косинус
Потому что вдоль нити берётся проекция силы тяжести на направление нити, а она равна \(mg\cos 60^\circ\).
Угол \(60^\circ\) — между нитью и вертикалью. Если разложить силу тяжести \(m\vec g\) на две составляющие:
- вдоль нити: \(mg\cos60^\circ\);
- перпендикулярно нити: \(mg\sin60^\circ\).
Составляющая \(mg\cos60^\circ\) направлена от точки подвеса, то есть противоположно силе натяжения \(T\). Поэтому в направлении к точке подвеса:
\[ T-mg\cos60^\circ=\frac{mv^2}{L}. \]
Отсюда:
\[ T=mg\cos60^\circ+\frac{mv^2}{L}. \]
Подставляем:
\[ T=1\cdot10\cdot\frac12+\frac{1\cdot1^2}{0{,}2} =5+5=10\ \text{Н}. \]
Почему не синус: \(mg\sin60^\circ\) — это составляющая силы тяжести вдоль касательной к траектории. Она меняет скорость груза, но не входит в уравнение движения вдоль нити. А натяжение нити связано именно с радиальным направлением, поэтому там нужен косинус.
