10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей
В 5 классе вы уже сравнивали, складывали и вычитали дроби со знаменателями, для которых можно было найти общий знаменатель.
Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:
- привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
- сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.
Пример 1. Сравним дроби \(\frac{5}{6}\) и \(\frac{11}{14}\). Приведём дроби к наименьшему общему знаменателю: \[\frac{5}{6} = \frac{5\cdot 7}{6\cdot 7} = \frac{35}{42}, \qquad \frac{11}{14} = \frac{11\cdot 3}{14\cdot 3} = \frac{33}{42}.\] Так как \(\frac{35}{42} > \frac{33}{42}\), то \(\frac{5}{6} > \frac{11}{14}\).
Пример 2. Выполним сложение дробей \(\frac{5}{6}\) и \(\frac{11}{14}\). \[\frac{5}{6} + \frac{11}{14} = \frac{35}{42} + \frac{33}{42} = \frac{68}{42} = 1\frac{26}{42} = 1\frac{13}{21}.\]
Пример 3. Выполним вычитание дробей \(\frac{5}{6}\) и \(\frac{11}{14}\). \[\frac{5}{6} - \frac{11}{14} = \frac{35}{42} - \frac{33}{42} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21}.\]
Изученные ранее свойства сложения и вычитания дробей помогают упрощать вычисления.
Пример 4. Найдём значение суммы \(\frac{5}{28} + \frac{5}{14} + \frac{7}{28} + \frac{3}{14}\). Дроби с одинаковыми знаменателями сгруппируем: \[\frac{5}{28} + \frac{5}{14} + \frac{7}{28} + \frac{3}{14} = \left(\frac{5}{28} + \frac{7}{28}\right) + \left(\frac{5}{14} + \frac{3}{14}\right) = \frac{12}{28} + \frac{8}{14} = \frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \] [обрезано справа: окончание записи]
Пример 5. Найдём значение выражения \(\frac{38}{45} - \left(\frac{11}{45} + \frac{2}{5}\right)\). Используя свойство вычитания суммы из числа, получим \[\frac{38}{45} - \left(\frac{11}{45} + \frac{2}{5}\right) = \frac{38}{45} - \frac{11}{45} - \frac{2}{5} = \frac{27}{45} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}.\]
На фото — не задача, а страница теории: правило и уже разобранные примеры 1–5. Отдельного номера, который нужно решить, в кадре нет (упражнения в правом столбце обрезаны). Поэтому сначала покажу принцип на этих примерах, а затем попрошу номер.
Главная идея
Сравнивать, складывать и вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями. Поэтому любой пример начинается одинаково: находим наименьший общий знаменатель (НОК знаменателей) и приводим дроби к нему.
Пример 1 — как работает приведение
\[ \frac{5}{6} \ \text{и}\ \frac{11}{14} \]
\(6 = 2\cdot 3\), \(14 = 2\cdot 7\), значит НОК \(= 2\cdot 3\cdot 7 = 42\). Дополнительные множители: \(42:6=7\), \(42:14=3\):
\[ \frac{5}{6} = \frac{5\cdot 7}{6\cdot 7} = \frac{35}{42}, \qquad \frac{11}{14} = \frac{11\cdot 3}{14\cdot 3} = \frac{33}{42} \]
Теперь знаменатели одинаковые, и всё решают числители: \(35 > 33\), значит \(\frac{5}{6} > \frac{11}{14}\).
Примеры 2 и 3 — то же приведение, другое действие
Знаменатель общий, поэтому числители просто складываем или вычитаем, а знаменатель переписываем:
\[ \frac{5}{6}+\frac{11}{14} = \frac{35}{42}+\frac{33}{42} = \frac{68}{42} = 1\frac{26}{42} = 1\frac{13}{21} \] \[ \frac{5}{6}-\frac{11}{14} = \frac{35}{42}-\frac{33}{42} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21} \]
Правило: сначала складываем/вычитаем, потом сокращаем и выделяем целую часть — так меньше ошибок.
Пример 4 — зачем нужны свойства сложения
\[ \frac{5}{28}+\frac{5}{14}+\frac{7}{28}+\frac{3}{14} \]
Переставляем и группируем дроби с одинаковыми знаменателями:
\[ \left(\frac{5}{28}+\frac{7}{28}\right)+\left(\frac{5}{14}+\frac{3}{14}\right) = \frac{12}{28}+\frac{8}{14} = \frac{3}{7}+\frac{4}{7} \]
(в книге запись обрывается у края, но сумма равна \(\frac{7}{7} = 1\)). Если складывать подряд, пришлось бы приводить к 28 — группировка экономит работу.
Пример 5 — вычитание суммы
Свойство \(a-(b+c) = a-b-c\) позволяет убрать скобки:
\[ \frac{38}{45}-\left(\frac{11}{45}+\frac{2}{5}\right) = \frac{38}{45}-\frac{11}{45}-\frac{2}{5} = \frac{27}{45}-\frac{2}{5} = \frac{3}{5}-\frac{2}{5} = \frac{1}{5} \]
Проверка
- Пример 2: \(68 - 42 = 26\), \(\frac{26}{42} = \frac{13}{21}\) — верно.
- Пример 5: \(\frac{1}{5}+\frac{11}{45}+\frac{2}{5} = \frac{9}{45}+\frac{11}{45}+\frac{18}{45} = \frac{38}{45}\) — верно.
Все примеры на странице решены правильно, так что алгоритм можно брать за образец.
Скажи номер упражнения, которое нужно решить (например, из правого столбца — 2.148 и дальше), и я разберу его по шагам.
