3 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: а) 11/12 и 7/30; б) 57/112 и 25/84.

Коротко: дроби с разными знаменателями нельзя сразу складывать или сравнивать. Сначала их приводят к наименьшему общему знаменателю, а потом работают с числителями. Знаменатель — это «размер долей», поэтому сначала доли нужно сделать одинаковыми.

На фото полностью виден № 3. Решу его, а затем разберу тему по примерам со страницы.

№ 3

а) \(\frac{11}{12}\) и \(\frac{7}{30}\)

\[ 12=2\cdot2\cdot3,\qquad 30=2\cdot3\cdot5 \]

Общий знаменатель:

\[ 2\cdot2\cdot3\cdot5=60 \]

\[ \frac{11}{12}=\frac{11\cdot5}{12\cdot5}=\frac{55}{60}, \qquad \frac{7}{30}=\frac{7\cdot2}{30\cdot2}=\frac{14}{60} \]

Ответ: \(\frac{55}{60}\) и \(\frac{14}{60}\).

б) \(\frac{57}{112}\) и \(\frac{25}{84}\)

\[ 112=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot7,\qquad 84=2\cdot2\cdot3\cdot7 \]

Общий знаменатель:

\[ 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot7=336 \]

\[ \frac{57}{112}=\frac{57\cdot3}{112\cdot3}=\frac{171}{336}, \qquad \frac{25}{84}=\frac{25\cdot4}{84\cdot4}=\frac{100}{336} \]

Ответ: \(\frac{171}{336}\) и \(\frac{100}{336}\).

Проверка: если сократить \(\frac{55}{60}\), снова получится \(\frac{11}{12}\). Если сократить \(\frac{171}{336}\) на \(3\), получится \(\frac{57}{112}\).

---

Как решать такие задания

1. Найди общий знаменатель — лучше всего наименьший общий знаменатель, то есть НОК знаменателей.
2. Для каждой дроби посчитай дополнительный множитель: общий знаменатель раздели на её знаменатель.
3. Умножь числитель и знаменатель на этот множитель. Сама дробь при этом не меняется.
4. Когда знаменатели стали одинаковыми:
   • при сравнении сравнивай числители;
   • при сложении складывай числители;
   • при вычитании вычитай числители. Знаменатель записывай один и тот же.
5. В конце сократи дробь и выдели целую часть, если нужно.

Пример 1. Сравнение

Сравним \(\frac56\) и \(\frac{11}{14}\). Общий знаменатель — 42.

\[ \frac56=\frac{5\cdot7}{6\cdot7}=\frac{35}{42}, \qquad \frac{11}{14}=\frac{11\cdot3}{14\cdot3}=\frac{33}{42} \]

Так как \(35>33\), то

\[ \frac56>\frac{11}{14}. \]

Пример 2. Сложение

\[ \frac56+\frac{11}{14} = \frac{35}{42}+\frac{33}{42} = \frac{68}{42} = 1\frac{26}{42} = 1\frac{13}{21}. \]

Складываем только числители: \(35+33=68\). Знаменатель 42 остаётся.

Пример 3. Вычитание

\[ \frac56-\frac{11}{14} = \frac{35}{42}-\frac{33}{42} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21}. \]

Опять работаем только с числителями.

Пример 4. Группировка

\[ \frac{5}{28}+\frac{5}{14}+\frac{7}{28}+\frac{3}{14} = \left(\frac{5}{28}+\frac{7}{28}\right) + \left(\frac{5}{14}+\frac{3}{14}\right) \]

\[ = \frac{12}{28}+\frac{8}{14} = \frac37+\frac47 = 1. \]

Дроби с одинаковыми знаменателями удобно группировать.

Пример 5. Вычитание суммы

\[ \frac{38}{45}-\left(\frac{11}{45}+\frac25\right) = \frac{38}{45}-\frac{11}{45}-\frac25. \]

Здесь использовано правило:

\[ a-(b+c)=a-b-c. \]

Далее \(\frac25=\frac{18}{45}\):

\[ \frac{27}{45}-\frac{18}{45} = \frac{9}{45} = \frac15. \]

Проверка: \(\frac{11}{45}+\frac25=\frac{11}{45}+\frac{18}{45}=\frac{29}{45}\), а \(\frac{38}{45}-\frac{29}{45}=\frac{9}{45}=\frac15\). Всё сходится.

Главное, что нужно запомнить: сначала одинаковые знаменатели, потом действия только с числителями. Если нужен номер из правой колонки, он на фото обрезан — пришли его полностью, и я разберу.