реши 1 вариант
Сверь числа и знаки с фото.
1 вариант
- Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: 0,5 и 0,5.
- Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt{6}}{4}\) и \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\).
Краткий ответ
- Нет, не могут.
- Если \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt6}{4}\) и \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), то \[ \sin\alpha=\frac{\sqrt{10}}{4},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{3},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{5}. \]
Как это получить
Для одного и того же угла всегда выполняется основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \] Если бы \(\sin\alpha=0{,}5\) и \(\cos\alpha=0{,}5\), получилось бы \[ 0{,}5^2+0{,}5^2=0{,}25+0{,}25=0{,}5\ne1. \] Значит, такие значения одновременно невозможны.
Угол \(\alpha\) лежит во II четверти, потому что \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\). В ней \(\sin\alpha>0\), а \(\operatorname{tg}\alpha\) и \(\operatorname{ctg}\alpha\) отрицательны.
Находим синус: \[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha =1-\left(-\frac{\sqrt6}{4}\right)^2 =1-\frac{6}{16} =\frac{10}{16} =\frac58. \] Так как синус во II четверти положителен, \[ \sin\alpha=\sqrt{\frac58}=\frac{\sqrt{10}}{4}. \]
Теперь тангенс: \[ \operatorname{tg}\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\frac{\sqrt{10}}{4}}{-\frac{\sqrt6}{4}} =-\sqrt{\frac{10}{6}} =-\frac{\sqrt{15}}{3}. \]
Котангенс: \[ \operatorname{ctg}\alpha =\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} =-\frac{3}{\sqrt{15}} =-\frac{\sqrt{15}}{5}. \]
Проверка \[ \left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)^2+ \left(-\frac{\sqrt6}{4}\right)^2 =\frac{10}{16}+\frac{6}{16}=1. \] Знаки тоже верные: во II четверти синус положительный, косинус, тангенс и котангенс отрицательные.
Обсуждение
11 сообщенийнапиши решение короче
1 вариант
Не могут: \[ 0{,}5^2+0{,}5^2=0{,}5\ne1, \] а должно выполняться \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
Так как \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), угол во II четверти: \(\sin\alpha>0\), \(\operatorname{tg}\alpha<0\), \(\operatorname{ctg}\alpha<0\).
\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt6}{4}\right)^2} =\sqrt{\frac{10}{16}}=\frac{\sqrt{10}}{4}. \]
\[ \operatorname{tg}\alpha= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\frac{\sqrt{10}}{4}}{-\frac{\sqrt6}{4}} =-\sqrt{\frac{10}{6}} =-\frac{\sqrt{15}}{3}. \]
\[ \operatorname{ctg}\alpha= \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} =-\frac{3}{\sqrt{15}} =-\frac{\sqrt{15}}{5}. \]
Ответ: \[ \sin\alpha=\frac{\sqrt{10}}{4},\quad \operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{3},\quad \operatorname{ctg}\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{5}. \]
реши 2 вариант
реши 2 вариант
2 вариант
Угол \(\frac{\pi}{2}\) вдвое больше \(\frac{\pi}{4}\). По формуле тангенса двойного угла: \[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{2} =\operatorname{tg}\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right) =\frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}}{1-\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{4}}. \] Так как \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1\), получаем \[ \frac{2\cdot1}{1-1^2}=\frac{2}{0}, \] то есть \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}\) не определён. Это ожидаемо: в точке \(\frac{\pi}{2}\) тангенс не существует.
Применяем ту же формулу справа налево: \[ \frac{2\operatorname{tg}22^\circ30'}{1-\operatorname{tg}^2 22^\circ30'} =\operatorname{tg}(2\cdot22^\circ30') =\operatorname{tg}45^\circ=1. \]
Ответ: 1) \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}\) не определён; 2) \(1\).
2 вариант
В первом задании, судя по фото, \(\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{2}\). Используем формулу котангенса двойного угла: \[ \operatorname{ctg}2x=\frac{\operatorname{ctg}^2x-1}{2\operatorname{ctg}x}. \] Положим \(2x=\dfrac{\pi}{2}\), тогда \(x=\dfrac{\pi}{4}\): \[ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{2} = \frac{\operatorname{ctg}^2\frac{\pi}{4}-1}{2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}} = \frac{1-1}{2\cdot1}=0. \]
Применим формулу тангенса двойного угла: \[ \frac{2\operatorname{tg}22^\circ30'}{1-\operatorname{tg}^2 22^\circ30'} = \operatorname{tg}\left(2\cdot22^\circ30'\right) = \operatorname{tg}45^\circ=1. \]
Ответ:
- \(0\);
- \(1\).
Если в первом пункте у тебя написано именно \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{2}\), то тангенс \(\dfrac{\pi}{2}\) не существует — в знаменателе формулы получается \(0\).
напиши короче
1) \[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{2}= \frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}}{1-\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{4}}; \] знаменатель равен \(0\), поэтому \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}\) не определён.
2) \[ \frac{2\operatorname{tg}22^\circ30'}{1-\operatorname{tg}^2 22^\circ30'} =\operatorname{tg}45^\circ=1. \]
Ответ: 1) не определён; 2) \(1\).
реши 4 вариант
кратко
4 вариант
\[ \operatorname{ctg}\frac{5\pi}{2} = \operatorname{ctg}\left(2\cdot\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{\operatorname{ctg}^2\frac{5\pi}{4}-1}{2\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{4}}. \] Так как \(\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{4}=1\), то \[ \operatorname{ctg}\frac{5\pi}{2}=\frac{1-1}{2}=0. \]
\[ \cos\alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1-2\left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1-\frac{1152}{625} = -\frac{527}{625}. \]
Ответ:
- \(0\);
- \(\cos\alpha=-\dfrac{527}{625}\).
