1. Найдите координаты вектора AB, если A(6; 3; -2), B(2; 4; -5).

Краткий ответ

1. \(\overrightarrow{AB}=(-4;1;-3)\).
2. \(|\vec a-2\vec b|=3\sqrt{14}\).
3. Точка \(B(-2;-3;4)\); расстояния до плоскостей \(Oyz\), \(Oxz\), \(Oxy\) равны \(2\), \(3\), \(4\) соответственно.
4. \(\overrightarrow{AM}=(3;-3;-0{,}5)\).

Как это получается

1. Координаты вектора по двум точкам.
Работает правило «конец минус начало»: \[ \overrightarrow{AB}=(2-6;\ 4-3;\ -5-(-2))=(-4;\ 1;\ -3). \]

2. Линейные операции с векторами и длина.
Сначала умножение вектора на число, затем вычитание — всё покоординатно: \[ 2\vec b=(6;4;-8), \] \[ \vec a-2\vec b=(5-6;\ -1-4;\ 2-(-8))=(-1;-5;10). \] Длина вектора — корень из суммы квадратов координат: \[ |\vec a-2\vec b|=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2+10^2} =\sqrt{1+25+100}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}. \]

3. Точка в пространстве и расстояния до координатных плоскостей.
Чтобы построить \(B(-2;-3;4)\): на плоскости \(Oxy\) отметь точку \((-2;-3;0)\), затем поднимись от неё на \(4\) единицы вверх параллельно оси \(Oz\).

Расстояние от точки до координатной плоскости равно модулю той координаты, которая в этой плоскости равна нулю: \[ d(B,Oyz)=|x_B|=|-2|=2, \] \[ d(B,Oxz)=|y_B|=|-3|=3, \] \[ d(B,Oxy)=|z_B|=|4|=4. \]

4. Медиана и середина отрезка.
Медиана \(AM\) идёт из вершины \(A\) в середину \(BC\). Находим середину \(M\): \[ M=\left(\frac{1+3}{2};\frac{0+(-2)}{2};\frac{4+1}{2}\right)=(2;-1;2{,}5). \] Теперь координаты вектора: \[ \overrightarrow{AM}=(2-(-1);\ -1-2;\ 2{,}5-3)=(3;-3;-0{,}5). \]

Проверка

• В п. 1: \(A+\overrightarrow{AB}=(6-4;3+1;-2-3)=(2;4;-5)=B\).
• В п. 4: \(A+\overrightarrow{AM}=(-1+3;2-3;3-0{,}5)=(2;-1;2{,}5)=M\), и \(M\) действительно середина \(BC\).