выполни и объясни

Коротко: ответ \(F\approx3{,}6\cdot10^{22}\ \text{Н}\). Ниже — как именно получаются эти числа, без «прыжков» через промежуточные действия.

---

Формула и что подставляем

\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \]

Из условия: \[ G=6{,}67\cdot10^{-11},\quad m_1=6\cdot10^{24},\quad m_2=2\cdot10^{30},\quad r=1{,}5\cdot10^{11}\ \text{м}. \]

Расстояние уже в метрах, переводить ничего не нужно.

---

Шаг 1. Возводим расстояние в квадрат

Правило: \((a\cdot10^{n})^2=a^2\cdot10^{2n}\).

\[ r^2=(1{,}5\cdot10^{11})^2=1{,}5^2\cdot10^{22}=2{,}25\cdot10^{22}. \]

Частая ошибка — возвести в квадрат только \(1{,}5\), забыв про \(10^{11}\).

---

Шаг 2. Перемножаем массы

\[ m_1m_2=(6\cdot10^{24})\cdot(2\cdot10^{30})=(6\cdot2)\cdot10^{24+30}=12\cdot10^{54}. \]

Удобнее сразу привести к стандартному виду: \[ 12\cdot10^{54}=1{,}2\cdot10^{55}. \]

Правило: при умножении степеней десятки показатели складываются.

---

Шаг 3. Умножаем на \(G\)

\[ G\,m_1m_2=(6{,}67\cdot10^{-11})\cdot(1{,}2\cdot10^{55}). \]

Отдельно числа, отдельно степени: \[ 6{,}67\cdot1{,}2=8{,}004, \] \[ 10^{-11}\cdot10^{55}=10^{-11+55}=10^{44}. \]

Значит, числитель равен \(8{,}004\cdot10^{44}\).

---

Шаг 4. Делим на \(r^2\)

\[ F=\frac{8{,}004\cdot10^{44}}{2{,}25\cdot10^{22}} =\frac{8{,}004}{2{,}25}\cdot10^{44-22}. \]

Считаем коэффициент: \[ \frac{8{,}004}{2{,}25}\approx3{,}557. \]

Степень: \[ 10^{44-22}=10^{22}. \]

Получаем: \[ F\approx3{,}557\cdot10^{22}\ \text{Н}. \]

---

Шаг 5. Округляем

\[ F\approx3{,}6\cdot10^{22}\ \text{Н}. \]

Округлять нужно в самом конце, а не после каждого действия — иначе накопится ошибка.

---

Проверка другим порядком (если так удобнее)

Можно сначала перемножить всё «в кучу»: \[ 6{,}67\cdot6\cdot2=80{,}04, \] \[ 10^{-11+24+30}=10^{43}. \]

Тогда: \[ F=\frac{80{,}04\cdot10^{43}}{2{,}25\cdot10^{22}} =\frac{80{,}04}{2{,}25}\cdot10^{21} \approx35{,}6\cdot10^{21}=3{,}56\cdot10^{22}\ \text{Н}. \]

Результат тот же — \(3{,}6\cdot10^{22}\ \text{Н}\).

---

Как набрать на калькуляторе

В инженерном калькуляторе используйте кнопку \(\text{EXP}\) (или \(10^x\)):

\[ 6{,}67\ \text{EXP}\ (-11)\times6\ \text{EXP}\ 24\times2\ \text{EXP}\ 30\div(1{,}5\ \text{EXP}\ 11)^2. \]

В обычном калькуляторе телефона можно записать так: 6.67e-11*6e24*2e30/(1.5e11)^2.

---

Три правила, которые здесь работают

1. Умножение степеней: \(10^a\cdot10^b=10^{a+b}\).
2. Деление степеней: \(\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}\).
3. Степень степени: \((10^a)^2=10^{2a}\).

Если хотите, покажу на другом примере, как считать силу тяготения между двумя любыми телами — закрепим эти же шаги.

Да, причина именно в степенях, но формулировка точнее такая: десятку не «оставляем», а учитываем отдельно.

Число \(6\cdot10^{24}\) — это произведение коэффициента \(6\) и степени \(10^{24}\). Поэтому при умножении удобно группировать множители:

\[ (6\cdot10^{24})\cdot(2\cdot10^{30}) =(6\cdot2)\cdot(10^{24}\cdot10^{30}). \]

Сначала перемножаем коэффициенты:

\[ 6\cdot2=12. \]

Теперь отдельно перемножаем степени с одинаковым основанием. При этом показатели складываются:

\[ 10^{24}\cdot10^{30}=10^{24+30}=10^{54}. \]

Значит,

\[ m_1m_2=12\cdot10^{54}. \]

Обычно результат записывают в стандартном виде, где перед степенью стоит число от \(1\) до \(10\):

\[ 12\cdot10^{54}=1{,}2\cdot10^{55}. \]

То есть десятка не исчезла: она осталась в ответе, но уже как \(10^{55}\).

Простой пример того же правила:

\[ 20\cdot30=(2\cdot10)\cdot(3\cdot10)=6\cdot100=6\cdot10^2=600. \]

Здесь две десятки тоже не «потерялись», а дали \(10\cdot10=10^2\). Так же и в первой задаче: \(10^{24}\cdot10^{30}=10^{54}\).

Нет, \(8{,}004\cdot10^{44}\) не равно \(8{,}004\).

Здесь \(8{,}004\) — это только коэффициент, а \(10^{44}\) — отдельный множитель. Запись \(8{,}004\cdot10^{44}\) означает:

\[ 8{,}004\cdot10^{44} \]

то есть число, у которого запятая перенесена на 44 знака вправо. Это огромное число, а не просто \(8{,}004\).

Например:

\[ 8{,}004\cdot10^1=80{,}04 \]

\[ 8{,}004\cdot10^2=800{,}4 \]

\[ 8{,}004\cdot10^3=8004 \]

И так далее. Чем больше степень, тем сильнее переносится запятая.

Откуда взялось \(8{,}004\cdot10^{44}\)

Мы перемножали:

\[ (6{,}67\cdot10^{-11})\cdot(1{,}2\cdot10^{55}) \]

Отдельно перемножили числа:

\[ 6{,}67\cdot1{,}2=8{,}004 \]

Отдельно степени:

\[ 10^{-11}\cdot10^{55}=10^{-11+55}=10^{44} \]

Поэтому и получилось:

\[ 8{,}004\cdot10^{44} \]

Важно про калькулятор

Если калькулятор показывает что-то вроде \(8.004e44\), это значит:

\[ 8{,}004\cdot10^{44} \]

Калькулятор не говорит, что число равно \(8{,}004\). Он просто сокращённо записывает степень.

А уже потом, когда мы делим на \(2{,}25\cdot10^{22}\), получаем:

\[ \frac{8{,}004\cdot10^{44}}{2{,}25\cdot10^{22}} = \frac{8{,}004}{2{,}25}\cdot10^{44-22} \approx3{,}56\cdot10^{22} \]

То есть \(8{,}004\) — это коэффициент до деления, а окончательный ответ первой задачи:

\[ F\approx3{,}6\cdot10^{22}\ \text{Н} \]

Если хочешь, можем отдельно разобрать, как переносить запятую при умножении на \(10^n\).

Расчёт второй задачи

Дано: \[ h=40\ \text{км}=4\cdot10^4\ \text{м}, \] \[ R=1700\ \text{км}=1{,}7\cdot10^6\ \text{м}, \] \[ g=1{,}6\ \text{м/с}^2. \]

Для спутника на высоте \(h\) радиус орбиты: \[ r=R+h=1{,}7\cdot10^6+0{,}04\cdot10^6=1{,}74\cdot10^6\ \text{м}. \]

Первая космическая скорость находится из условия, что сила тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение: \[ \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}. \] Отсюда: \[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

Так как на поверхности Луны \[ g=\frac{GM}{R^2}, \] то \[ GM=gR^2. \]

Тогда: \[ v=\sqrt{\frac{gR^2}{R+h}}. \]

Подставляем числа: \[ v=\sqrt{\frac{1{,}6\cdot(1{,}7\cdot10^6)^2}{1{,}74\cdot10^6}}. \]

Сначала считаем числитель: \[ (1{,}7\cdot10^6)^2=2{,}89\cdot10^{12}, \] \[ 1{,}6\cdot2{,}89\cdot10^{12}=4{,}624\cdot10^{12}. \]

Делим: \[ \frac{4{,}624\cdot10^{12}}{1{,}74\cdot10^6}\approx2{,}657\cdot10^6. \]

Значит: \[ v=\sqrt{2{,}657\cdot10^6}\approx1{,}63\cdot10^3\ \text{м/с}. \]

Ответ: \[ v\approx1{,}63\cdot10^3\ \text{м/с}\approx1{,}6\ \text{км/с}. \]

Если высоту \(40\) км не учитывать и считать скорость у самой поверхности Луны, получится примерно \(1{,}65\) км/с. Но в задаче высота дана, поэтому правильнее использовать формулу с \(R+h\).

Расчёт третьей задачи

Краткий ответ: \[ a \approx 9{,}2\ \text{м/с}^2 \quad (\text{при } g=9{,}8\ \text{м/с}^2); \] если округлять \(g\approx10\ \text{м/с}^2\), то \[ a \approx 9\ \text{м/с}^2. \] Ускорение направлено вверх.

---

Дано: \[ m=80\ \text{кг},\qquad P=1520\ \text{Н}. \]

Космонавт давит на сиденье с силой \(P=1520\ \text{Н}\). По третьему закону Ньютона сиденье действует на космонавта с такой же по модулю силой: \[ N=P=1520\ \text{Н}. \]

На космонавта действуют две силы:

• сила тяжести \(mg\) — вниз;
• сила реакции сиденья \(N\) — вверх.

Ракета стартует, поэтому её ускорение направлено вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх: \[ N-mg=ma. \]

Отсюда: \[ a=\frac{N}{m}-g \] или, так как \(N=P\), \[ a=\frac{P}{m}-g. \]

Подставляем числа: \[ \frac{P}{m}=\frac{1520}{80}=19\ \text{м/с}^2. \]

Теперь вычитаем \(g\). Если взять табличное значение \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\), то: \[ a=19-9{,}8=9{,}2\ \text{м/с}^2. \]

Если в классе принимают \(g\approx10\ \text{м/с}^2\), то: \[ a=19-10=9\ \text{м/с}^2. \]

Ответ: \(a\approx9{,}2\ \text{м/с}^2\) (или \(9\ \text{м/с}^2\) при \(g=10\ \text{м/с}^2\)), ускорение направлено вверх.

---

Почему нельзя просто считать \(P=mg\)? В покое вес космонавта был бы \[ mg=80\cdot9{,}8=784\ \text{Н}, \] а здесь сила давления \(1520\ \text{Н}\) почти в два раза больше. Это объясняется ускоренным движением ракеты: при ускорении вверх вес тела увеличивается по формуле \[ P=m(g+a). \] Именно из неё и получается расчёт: \[ a=\frac{P}{m}-g. \]