объясни очень подробно как это решили, почему скобки разные и как это всё находить

Коротко, как в тетради:

\[ \text{нули функции: } x=-3;\ 1;\ 3, \] \[ \text{возрастает на } [-5;-1)\ \text{и } (2;4], \] \[ \text{убывает на } (-1;2), \] \[ E(y)=[-2;4]. \]

Высшая точка графика: \((-1;4)\), нижняя точка имеет ординату \(y=-2\) — на рисунке это точка при \(x=2\).

Что ищем	Как это видно по графику	Ответ
Нули функции	точки, где график пересекает ось \(Ox\), то есть \(y=0\)	\(x=-3;\ 1;\ 3\)
Промежутки возрастания	идём слева направо, график поднимается	\([-5;-1)\) и \((2;4]\)
Промежутки убывания	идём слева направо, график опускается	\((-1;2)\)
Область значений \(E(y)\)	проекция всего графика на ось \(Oy\)	\([-2;4]\)

1. Как находить нули функции

Нуль функции — это такое \(x\), при котором \(y=0\). На графике это точки пересечения с горизонтальной осью \(Ox\).

Смотрим на график:

• кривая пересекает ось \(x\) при \(x=-3\);
• ещё раз — при \(x=1\);
• ещё раз — при \(x=3\).

Поэтому:

\[ f(x)=0 \quad \text{при } x=-3;\ 1;\ 3. \]

Почему здесь нет скобок? Потому что нули — это не промежутки, а отдельные точки. Их просто перечисляют через точку с запятой. В записи \(-3;\ 1;\ 3\) точки с запятой разделяют три разных числа. Это не десятичная дробь \(1,3\).

2. Как находить возрастание и убывание

Двигаемся по графику слева направо, то есть увеличиваем \(x\).

• Если график при этом идёт вверх, функция возрастает.
• Если график идёт вниз, функция убывает.
• В верхней точке «горки» возрастание сменяется убыванием: это максимум.
• В нижней точке «ямки» убывание сменяется возрастанием: это минимум.

По рисунку:

1. От \(x=-5\) до \(x=-1\) график поднимается. Значит, функция возрастает.
2. В точке \(x=-1\) достигается максимум, \(y=4\). Дальше график идёт вниз.
3. От \(x=-1\) до \(x=2\) функция убывает.
4. В точке \(x=2\) достигается минимум, \(y=-2\). Дальше график снова поднимается.
5. От \(x=2\) до \(x=4\) функция возрастает.

Поэтому возрастание разбивается на два отдельных промежутка:

\[ [-5;-1) \quad \text{и} \quad (2;4]. \]

Нельзя писать, что функция возрастает на всём \([-5;4]\): между \(-1\) и \(2\) она ведь убывает. Знак \(\cup\) между промежутками означает просто «и там, и там», то есть объединение двух участков, а не один сплошной промежуток возрастания.

3. Почему скобки разные

Запомним главное:

• квадратная скобка \([\) или \(]\) — конец включается;
• круглая скобка \((\) или \()\) — конец не включается.

В записи из тетради:

\[ [-5;-1) \]

число \(-5\) включено, а \(-1\) не включено. Затем:

\[ (2;4] \]

число \(2\) не включено, а \(4\) включено.

Почему именно так?

• \(-1\) и \(2\) — это точки поворота: в них функция меняет возрастание на убывание или наоборот. В этих точках максимум и минимум. В таком оформлении их не включают в промежутки монотонности, поэтому рядом с ними стоят круглые скобки. В точке \(x=-1\) функция уже перестаёт возрастать и начинает убывать; в точке \(x=2\) — наоборот.
• \(-5\) и \(4\) — это концы графика, концы области определения. График в этих точках существует, поэтому в данном ответе поставили квадратные скобки. Если бы в точке была выколотая точка, поставили бы круглую.

То есть:

\[ (-1;2) \]

означает убывание между \(-1\) и \(2\), без самих точек \(-1\) и \(2\). В этих точках направление функции меняется, это границы промежутков.

Важно: в разных учебниках и у разных учителей точки экстремумов иногда включают в промежутки монотонности. Тогда могли бы написать, например:

\[ [-5;-1],\quad [-1;2],\quad [2;4]. \]

Это вопрос принятого оформления. В твоей записи выбрали вариант, где точки поворота не включаются, а концы области определения включаются. На контрольной лучше придерживаться того, как требует учитель.

4. Почему \(E(y)=[-2;4]\)

\(E(y)\) — это область значений, то есть все значения \(y\), которые принимает график. Смотрим не на ось \(x\), а на ось \(y\):

• самая высокая точка графика имеет \(y=4\);
• самая низкая точка имеет \(y=-2\);
• график непрерывный, поэтому он проходит через все промежуточные значения \(y\).

Значит:

\[ E(y)=[-2;4]. \]

Скобки здесь квадратные, потому что значения \(-2\) и \(4\) действительно достигаются: это не «стремится к \(-2\)», а реально нижняя и верхняя точки графика.

Не путай два разных промежутка:

• \((-1;2)\) — это промежуток по оси \(x\), где функция убывает;
• \([-2;4]\) — это промежуток по оси \(y\), то есть область значений.

Поэтому \(x=2\) может не входить в промежуток убывания, но значение \(y=-2\) всё равно входит в область значений: функция просто принимает это значение в точке \(x=2\).

Проверка

• При \(x=-3,1,3\) график лежит на оси \(Ox\), значит \(y=0\). Нули найдены верно.
• Левее \(x=-1\) график поднимается, между \(-1\) и \(2\) опускается, правее \(2\) снова поднимается. Промежутки возрастания и убывания определены верно.
• Выше \(y=4\) и ниже \(y=-2\) график не уходит, а эти значения достигаются. Поэтому \(E(y)=[-2;4]\).
• Если уже проходили производную: в точках \(x=-1\) и \(x=2\) производная равна нулю, а её знак меняется. Это те же самые точки поворота.