2. Постройте график функции y = −6/x. Какова область определения функции? При каких значениях x функция принимает положительные значения?

Кратко

\[ y=-\frac{6}{x} \]

Это гипербола. Её ветви расположены во II и IV координатных четвертях.

• Область определения: \(x\ne 0\), то есть \[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
• Положительные значения функция принимает при \[ x<0,\quad x\in(-\infty;0). \]

Как построить график

Составим таблицу точек:

Отметь эти точки на координатной плоскости. Левая ветвь проходит через точки \((-6;1)\), \((-3;2)\), \((-2;3)\), \((-1;6)\) и располагается выше оси \(x\). Правая ветвь проходит через \((1;-6)\), \((2;-3)\), \((3;-2)\), \((6;-1)\) и располагается ниже оси \(x\).

Ветви нужно провести плавными линиями и не соединять между собой. Оси координат являются асимптотами: график приближается к ним, но не пересекает.

Почему \(x<0\)

Нужно решить неравенство: \[ -\frac{6}{x}>0. \] Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Числитель \(-6\) отрицательный, значит и знаменатель должен быть отрицательным: \[ x<0. \]

Проверка: при \(x=-2\) получаем \(y=3>0\), а при \(x=2\) получаем \(y=-3<0\). Всё верно.