по шагам обьясни как решать(алгоритм и логику решения) номера 213 (2,4)

Ответ:
214(2): \(x=2;\ 5\)
214(4): \(x=-\frac13\)

Общий алгоритм

1. Привести обе части уравнения к одному основанию \(a>0,\ a\ne1\).
2. Использовать правило: \[ a^{u}=a^{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u=v. \]
3. Решить получившееся уравнение относительно показателя.
4. Если в показателе есть дробь, проверить область допустимых значений: знаменатель не равен нулю.
5. Подставить найденные корни в исходное уравнение для проверки.

---

214(2)

\[ 2^{x^2-7x+10}=1 \]

Единицу можно записать как \(2^0\):

\[ 2^{x^2-7x+10}=2^0 \]

Основания одинаковые, значит показатели равны:

\[ x^2-7x+10=0 \]

Решаем квадратное уравнение. Можно разложить на множители:

\[ (x-2)(x-5)=0 \]

Отсюда:

\[ x_1=2,\qquad x_2=5 \]

Ответ: \(x=2;\ 5\).

---

214(4)

По фото в этом номере показатели — дроби:

\[ 0{,}5^{\frac1x}=4^{\frac1{x+1}} \]

Сначала выписываем ограничения:

\[ x\ne0,\qquad x\ne-1 \]

Теперь приводим основания к двойке:

\[ 0{,}5=\frac12=2^{-1},\qquad 4=2^2 \]

Получаем:

\[ (2^{-1})^{\frac1x}=(2^2)^{\frac1{x+1}} \]

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\[ 2^{-\frac1x}=2^{\frac{2}{x+1}} \]

Основания одинаковые, поэтому:

\[ -\frac1x=\frac{2}{x+1} \]

Умножаем обе части на \(x(x+1)\), причём \(x\ne0,\ x\ne-1\):

\[ -(x+1)=2x \]

\[ -x-1=2x \]

\[ -1=3x \]

\[ x=-\frac13 \]

Проверяем ограничения: \(-\frac13\ne0\), \(-\frac13\ne-1\), значит корень подходит.

Ответ: \(x=-\frac13\).

Проверка:

\[ 0{,}5^{-3}=2^3=8, \]

\[ 4^{\frac{1}{-\frac13+1}}=4^{\frac{1}{\frac23}}=4^{\frac32}=8. \]

Обе части равны \(8\), значит решение верное.

Ответ:
216(2): \(x=\frac45\)
216(4): \(x=-1\)
216(6): \(x=-3;\ \frac12\)

Общий алгоритм

1. Записать корни и дроби через степени: \[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn},\qquad \frac1{a^n}=a^{-n}. \]
2. Привести обе части уравнения к одному основанию — здесь удобно к основанию \(10\).
3. Использовать правило: \[ a^u=a^v \quad\Rightarrow\quad u=v, \] если \(a>0,\ a\ne1\).
4. Решить получившееся уравнение относительно показателя.
5. Проверить найденные значения подстановкой.

---

216(2)

\[ 10^x=\sqrt[5]{10000} \]

Представим правую часть через степень десятки:

\[ 10000=10^4 \]

\[ \sqrt[5]{10000}=(10^4)^{\frac15}=10^{\frac45} \]

Получаем:

\[ 10^x=10^{\frac45} \]

Основания одинаковые, значит показатели равны:

\[ x=\frac45 \]

Ответ: \(x=\frac45\).

Проверка: \(\sqrt[5]{10000}=10^{4/5}\), поэтому равенство выполняется.

---

216(4)

\[ 10^x=\frac{1}{\sqrt[4]{10000}} \]

Сначала преобразуем знаменатель:

\[ \sqrt[4]{10000}=\sqrt[4]{10^4}=10 \]

Тогда:

\[ \frac{1}{\sqrt[4]{10000}}=\frac1{10}=10^{-1} \]

Получаем:

\[ 10^x=10^{-1} \]

Отсюда:

\[ x=-1 \]

Ответ: \(x=-1\).

Проверка:

\[ 10^{-1}=\frac1{10}=\frac{1}{\sqrt[4]{10000}}. \]

---

216(6)

\[ 100^{x^2-1}=10^{1-5x} \]

Приводим основание \(100\) к десятке:

\[ 100=10^2 \]

Тогда:

\[ 100^{x^2-1}=(10^2)^{x^2-1}=10^{2(x^2-1)} \]

Уравнение принимает вид:

\[ 10^{2(x^2-1)}=10^{1-5x} \]

Приравниваем показатели:

\[ 2(x^2-1)=1-5x \]

Раскрываем скобки:

\[ 2x^2-2=1-5x \]

Переносим всё влево:

\[ 2x^2+5x-3=0 \]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49 \]

Корни:

\[ x_{1,2}=\frac{-5\pm7}{4} \]

То есть:

\[ x_1=\frac{-5+7}{4}=\frac12, \]

\[ x_2=\frac{-5-7}{4}=-3 \]

Ответ: \(x=-3;\ \frac12\).

Проверка:

• При \(x=\frac12\): \[ 2\left(\frac14-1\right)=-\frac32,\qquad 1-5\cdot\frac12=-\frac32. \]
• При \(x=-3\): \[ 2(9-1)=16,\qquad 1-5\cdot(-3)=16. \]

Обе части уравнений равны, значит корни найдены верно.

Главная идея номера 216: сначала превратить корни и дроби в степени с одним основанием, а затем приравнять показатели.