Математика реши

Верхняя часть записана без заголовка. Если это обычное задание «выписать простые числа из промежутка», то при знаках \(\le\), которые видны на фото:

\[ 21\le x\le 41:\quad 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41. \]

\[ 56\le y\le 81:\quad 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79. \]

Если в тетради стоят строгие знаки \(<\), то число \(41\) из первого списка не входит; второй список не меняется.

Почему так. Простое число имеет ровно два делителя: \(1\) и само себя. Проверяем числа в промежутке: вычёркиваем чётные, делящиеся на \(3\), на \(5\), на \(7\). Например, \(57=3\cdot19\), \(77=7\cdot11\), а \(59,61,67,71,73,79\) не делятся ни на одно из простых чисел до \(\sqrt{81}=9\).

Нижние строки — общие делители чисел:

\[ (16;56)=\{1,2,4,8\}, \]

\[ (34;68)=\{1,2,17,34\}, \]

\[ (18;48)=\{1,2,3,6\}, \]

\[ (29;45)=\{1\}. \]

Если в задании нужен наибольший общий делитель, то:

\[ \text{НОД}(16;56)=8,\quad \text{НОД}(34;68)=34, \] \[ \text{НОД}(18;48)=6,\quad \text{НОД}(29;45)=1. \]

Как получать такие наборы. Раскладываем на простые множители, например:

\[ 16=2^4,\qquad 56=2^3\cdot7. \]

Общий простой множитель только \(2\), поэтому общие делители — это \(2^0,2^1,2^2,2^3\), то есть \(1,2,4,8\).

Аналогично: \[ 34=2\cdot17,\quad 68=2^2\cdot17; \] \[ 18=2\cdot3^2,\quad 48=2^4\cdot3. \]

У чисел \(29\) и \(45\) общих простых множителей нет: \(29\) простое, а \(45=3^2\cdot5\). Поэтому у них только общий делитель \(1\); такие числа называют взаимно простыми.