движение тел вокруг гравитационного центра солнечная система галактики
Краткий ответ
Вокруг любого гравитационного центра тело движется так, что сила притяжения играет роль центростремительной силы. Из этого одного равенства получаются и скорость спутника, и законы Кеплера для планет, и кривые вращения звёзд в галактике:
\[ G\frac{mM}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]
Меняется только одно: что считать центральной массой \(M\) — Землю, Солнце или всю массу галактики внутри орбиты звезды.
Ключевые шаги
1. Откуда берутся формулы. Тело массы \(m\) идёт по окружности радиуса \(r\) со скоростью \(v\), значит у него есть центростремительное ускорение \(a=\frac{v^2}{r}\). Единственная сила, которая его сообщает, — притяжение к центру. Приравниваем \(F_{\text{тяж}}=ma\) — масса тела \(m\) сокращается, поэтому от самого тела ничего не зависит: и камень, и спутник на той же орбите имеют ту же скорость.
2. Что означают формулы.
- чем дальше от центра, тем медленнее: \(v\propto \frac{1}{\sqrt{r}}\);
- период растёт быстрее радиуса: \(T^2\propto r^3\) — это третий закон Кеплера;
- в виде \(v^2r=GM\) формула читается так: «скорость определяется массой внутри орбиты».
3. Орбита не обязательно окружность. По первому закону Кеплера орбита — эллипс, в фокусе которого центр масс. Тогда в формуле вместо \(r\) берут большую полуось \(a\), а скорость меняется: в перигелии (ближе) больше, в афелии (дальше) меньше.
4. Три масштаба — одна физика.
| Система | Центр | Что такое \(M\) | Следствие |
|---|---|---|---|
| Спутник у Земли | Земля | масса Земли | \(v\approx 7{,}9\) км/с у поверхности — первая космическая |
| Планеты | Солнце | масса Солнца | \(v\propto \frac{1}{\sqrt r}\), \(T^2\propto r^3\) |
| Звёзды в галактике | центр галактики | масса внутри орбиты звезды \(M(r)\) | если масса распределена, \(v\) может почти не падать с расстоянием |
5. Почему в галактике «не по Кеплеру». Если бы почти вся масса сидела в ядре, то далёкие звёзды должны двигаться всё медленнее: \(v\propto \frac{1}{\sqrt r}\). Наблюдения показывают другое — скорость на больших радиусах выходит на постоянное значение («плоская кривая вращения»). Значит, \(M(r)\) продолжает расти с радиусом, то есть масса есть и вдали от центра, где мы не видим звёзд. Это и есть одно из главных доказательств существования тёмной материи.
Проверка на числах
Земля: \(r=1{,}5\cdot10^{11}\) м, \(M_\odot=2\cdot10^{30}\) кг.
\[ v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 2\cdot10^{30}}{1{,}5\cdot10^{11}}}\approx 3\cdot10^{4}\ \text{м/с}\approx 30\ \text{км/с} \]
\[ T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi\cdot1{,}5\cdot10^{11}}{3\cdot10^{4}}\approx 3{,}1\cdot10^{7}\ \text{с}\approx 365\ \text{суток} \]
Период совпал с реальным годом — значит, формулы применены верно.
Частые ошибки
- подставляют в \(M\) массу движущегося тела, а не центрального;
- берут \(r\) как расстояние между поверхностями, а не между центрами;
- считают, что для эллипса формула не работает, — работает, но со средней скоростью и полуосью;
- думают, что Луна вращается строго вокруг центра Земли: на самом деле Земля и Луна обращаются вокруг общего центра масс, просто он лежит внутри Земли.
