Дан тетраэдр DABC, точки M ∈ DA, N ∈ DB, P ∈ DC, DM/MA = DN/NB = DP/PC = 2, S(ABC) = 10; доказать, что (MNP) ∥ ABC

Я не вижу изображения — пришлите фото задания, и я его решу.

Разбираю условие так: тетраэдр \(DABC\), точки \(M\in DB\), \(N\in DA\), \(P\in DC\), причём \[ \frac{DM}{MB}=\frac{DN}{NA}=\frac{DP}{PC}. \]

Доказательство. Обозначим общее отношение через \(t\). Из \(\frac{DM}{MB}=\frac{DN}{NA}=t\) в треугольнике \(DAB\) получаем \(MN\parallel AB\). Аналогично из \(\frac{DM}{MB}=\frac{DP}{PC}=t\) в треугольнике \(DBC\) получаем \(MP\parallel BC\). Две пересекающиеся прямые \(MN\) и \(MP\) плоскости \((MNP)\) параллельны двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BC\) плоскости \((ABC)\), значит \((MNP)\parallel(ABC)\).

Площадь. Коэффициент подобия: \(\frac{DM}{DB}=\frac{t}{t+1}\), поэтому \[ S_{MNP}=\left(\frac{t}{t+1}\right)^2 S_{ABC}. \] При \(t=\frac{DM}{MB}=2\): \(S_{MNP}=\frac{4}{9}S_{ABC}\), то есть при \(S_{ABC}=10\sqrt{3}\) будет \(S_{MNP}=\frac{40\sqrt{3}}{9}\).

Правая часть записи не читается: не разобрать, какая площадь дана (\(S_{ABC}=10\sqrt{3}\)?) и чему точно равно \(\frac{DM}{MB}\), а также что нужно найти кроме \(S_{MNP}\). Напиши эти числа текстом — доведу до ответа.

Дано: тетраэдр \(DABC\), \(M\in DA\), \(N\in DB\), \(P\in DC\), \(\frac{DM}{MA}=\frac{DN}{NB}=\frac{DP}{PC}=2\), \(S_{ABC}=10\). Найти: \(S_{MNP}\), \(P_{MNP}\).

1) Доказательство \((MNP)\parallel(ABC)\). Из \(\frac{DM}{MA}=\frac{DN}{NB}\) по теореме, обратной теореме Фалеса: \(MN\parallel AB\). Аналогично \(NP\parallel BC\), \(MP\parallel AC\). Две пересекающиеся прямые \(MN\) и \(MP\) параллельны двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(AC\), значит \((MNP)\parallel(ABC)\). ∎

2) Коэффициент подобия. \[ \frac{DM}{DA}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3},\qquad k=\frac{2}{3}. \]

3) Площадь. \[ S_{MNP}=k^2S_{ABC}=\frac{4}{9}\cdot 10=\frac{40}{9}=4\frac{4}{9}. \]

4) Периметр. \[ P_{MNP}=k\,P_{ABC}=\frac{2}{3}P_{ABC}. \] Числа для \(P_{ABC}\) в условии нет, поэтому ответ — \(P_{MNP}=\frac{2}{3}P_{ABC}\).

Ответ: \((MNP)\parallel(ABC)\); \(S_{MNP}=\frac{40}{9}\approx4{,}44\); \(P_{MNP}=\frac{2}{3}P_{ABC}\).

Вот схема для чертежа (не в масштабе):

            D
           /|\
          / | \
         M--+--N
        / \ | / \
       /   \|/   \
      /     P     \
     A-------------B
      \           /
       \         /
        \       /
         \     /
          \   /
           \ /
            C

Как оформить:

• \(M\in DA,\ N\in DB,\ P\in DC\).
• Отложи точки так, чтобы
  \[ DM:MA=DN:NB=DP:PC=2:1 \] то есть ближе к \(A,B,C\).
• Соедини \(M,N,P\) и заштрихуй треугольник \(MNP\) — это сечение.
• Подпиши: \((MNP)\parallel(ABC)\), \(S_{ABC}=10\).

По условию с фото:

\[ \frac{DM}{MA}=\frac{DN}{NB}=\frac{DP}{PC}=2,\qquad S_{ABC}=10. \]

1. Доказательство параллельности плоскостей

Так как \(\frac{DM}{MA}=\frac{DN}{NB}\), то в треугольнике \(DAB\) по теореме Фалеса

\[ MN\parallel AB. \]

Аналогично:

\[ NP\parallel BC,\qquad MP\parallel AC. \]

Две пересекающиеся прямые \(MN\) и \(NP\) плоскости \((MNP)\) параллельны двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BC\) плоскости \((ABC)\). Значит,

\[ (MNP)\parallel(ABC). \]

2. Площадь \(S_{MNP}\)

Из \(\frac{DM}{MA}=2\) следует:

\[ DM:MA=2:1,\qquad \frac{DM}{DA}=\frac{2}{3}. \]

То есть треугольник \(MNP\) подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом

\[ k=\frac{2}{3}. \]

Поэтому

\[ S_{MNP}=k^2S_{ABC}=\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot 10= \frac{4}{9}\cdot 10=\frac{40}{9}=4\frac{4}{9}. \]

3. Периметр \(P_{MNP}\)

При подобии периметры относятся как коэффициент подобия:

\[ P_{MNP}=\frac{2}{3}P_{ABC}. \]

Числового значения \(P_{ABC}\) в условии нет, поэтому найти \(P_{MNP}\) числом нельзя — только выразить через периметр \(ABC\).

Ответ

\[ (MNP)\parallel(ABC); \]

\[ S_{MNP}=\frac{40}{9}=4\frac{4}{9}; \]

\[ P_{MNP}=\frac{2}{3}P_{ABC}. \]

Если в вашем учебнике тетраэдр считается правильным, то \(ABC\) — равносторонний треугольник, и тогда числовое значение периметра можно вычислить дополнительно.

По фото:
\[ \frac{DM}{MA}=\frac{DN}{NB}=\frac{DP}{PC}=2,\qquad S_{ABC}=10. \]

1. Доказательство параллельности плоскостей

Так как \(\frac{DM}{MA}=2\), то \[ \frac{DM}{DA}=\frac{DN}{DB}=\frac{DP}{DC}=\frac{2}{3}. \]

В треугольнике \(DAB\): \[ \frac{DM}{DA}=\frac{DN}{DB}\Rightarrow MN\parallel AB. \]

Аналогично: \[ NP\parallel BC,\qquad MP\parallel AC. \]

Две пересекающиеся прямые \(MN\) и \(NP\) плоскости \((MNP)\) параллельны двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BC\) плоскости \((ABC)\), значит \[ (MNP)\parallel(ABC). \]

2. Площадь \(S_{MNP}\)

Треугольники \(MNP\) и \(ABC\) подобны с коэффициентом \[ k=\frac{2}{3}. \]

Поэтому \[ S_{MNP}=k^2S_{ABC}= \left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot 10= \frac{4}{9}\cdot 10= \frac{40}{9}=4\frac{4}{9}. \]

3. Периметр \(P_{MNP}\)

\[ P_{MNP}=kP_{ABC}=\frac{2}{3}P_{ABC}. \]

Числового значения \(P_{ABC}\) в условии нет, поэтому периметр \(MNP\) можно выразить только через периметр \(ABC\).

Ответ

\[ (MNP)\parallel(ABC); \]

\[ S_{MNP}=\frac{40}{9}=4\frac{4}{9}; \]

\[ P_{MNP}=\frac{2}{3}P_{ABC}. \]

Если в условии дополнительно дан периметр \(ABC\), подставь его в последнюю формулу.

Вот схематический чертёж тетраэдра (не в масштабе):

              D
             /|\
            / | \
           M--+--N
          / \ | / \
         /   \|/   \
        /     P     \
       A- - - | - - -B
        \     |     /
         \    |    /
          \   |   /
              C

• \(M\in DA,\ N\in DB,\ P\in DC\).
• \(DM:MA=DN:NB=DP:PC=2:1\) — точки \(M,N,P\) ближе к \(A,B,C\).
• Соедини \(M,N,P\): треугольник \(MNP\) — сечение, параллельное основанию \(ABC\).
• \(AB\) на схеме показано пунктиром как заднее ребро. Пересечение \(DC\) с \(AB\) — это наложение линий на рисунке, а не отдельная вершина.

По фото правильная математическая запись условия:

\[ DABC\ —\ \text{тетраэдр};\qquad M\in DA,\quad N\in DB,\quad P\in DC; \] \[ \frac{DM}{MA}=\frac{DN}{NB}=\frac{DP}{PC}=2,\qquad S_{ABC}=10. \]

Доказать: \[ (MNP)\parallel(ABC). \]

Найти: \[ S_{MNP},\qquad P_{MNP}. \]

Доказательство. Так как \[ \frac{DM}{MA}=\frac{DN}{NB}=\frac{DP}{PC}=2, \] то \[ \frac{DM}{DA}=\frac{DN}{DB}=\frac{DP}{DC}=\frac{2}{3}. \] Значит, гомотетия с центром \(D\) и коэффициентом \(\frac{2}{3}\) переводит \(A\to M,\ B\to N,\ C\to P\). Поэтому \[ (MNP)\parallel(ABC), \] а треугольники подобны с коэффициентом \[ k=\frac{2}{3}. \]

Площадь: \[ S_{MNP}=k^2S_{ABC}= \left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot 10= \frac{40}{9}=4\frac{4}{9}. \]

Периметр: \[ P_{MNP}=kP_{ABC}=\frac{2}{3}P_{ABC}. \]

Ответ: \[ (MNP)\parallel(ABC); \] \[ S_{MNP}=\frac{40}{9}=4\frac{4}{9}; \] \[ P_{MNP}=\frac{2}{3}P_{ABC}. \]

Числового значения \(P_{MNP}\) нет, так как периметр \(ABC\) в условии не задан.