сделай номер 11.8
Сверь числа и знаки с фото.
11.8. На отрезке AB, где точка A лежит в плоскости α, выбрана точка C. Параллельные прямые, проведённые из точек B и C, пересекают плоскость α в точках B₁ и C₁ соответственно. Найдите длину сечения CC₁, если: а) точка C — середина отрезка AB, а BB₁ = 14 см; б) AC : CB = 3 : 2, и BB₁ = 50 см.
Ответ: а) \(CC_1=7\) см; б) \(CC_1=30\) см.
Почему так
- Прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны, поэтому точки \(B\), \(C\), \(C_1\), \(B_1\) лежат в одной плоскости. Вместе с прямой \(BC\) в ней лежит и точка \(A\).
- Эта плоскость пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой, проходящей через \(A\), \(B_1\) и \(C_1\). Значит, \(A\), \(C_1\), \(B_1\) лежат на одной прямой, а в треугольнике \(ABB_1\) отрезок \(CC_1\parallel BB_1\).
- Треугольники \(ACC_1\) и \(ABB_1\) подобны (угол при \(A\) общий, соответственные углы при параллельных прямых равны), поэтому \[ \frac{CC_1}{BB_1}=\frac{AC}{AB}, \qquad CC_1=\frac{AC}{AB}\cdot BB_1. \]
Можно думать и так: при «проектировании» вдоль параллельных прямых точка \(A\) остаётся на месте, а отрезки вдоль \(AB\) сжимаются к \(A\) в одном и том же отношении \(\frac{AC}{AB}\).
Пункт а). \(C\) — середина \(AB\), значит, \(\frac{AC}{AB}=\frac12\): \[ CC_1=\frac12\cdot 14=7\ \text{см}. \]
Пункт б). \(AC:CB=3:2\), то есть \(AC=3\) части, \(CB=2\) части, \(AB=5\) частей, поэтому \(\frac{AC}{AB}=\frac35\): \[ CC_1=\frac35\cdot 50=30\ \text{см}. \]
Проверка. В пункте а) \(CC_1\) — средняя линия треугольника \(ABB_1\), она вдвое короче \(BB_1\). В пункте б) \(AC>CB\), поэтому \(CC_1\) больше половины \(BB_1\), но меньше \(BB_1\): \(25<30<50\). Оба результата согласуются.
На будущее. Коэффициент всегда бери от точки \(A\) — той, где прямая \(AB\) встречает плоскость: \[ CC_1=\frac{AC}{AB}\cdot BB_1. \] Если по ошибке взять \(\frac{CB}{AB}=\frac25\), получится 20 см — это неверно. Наклон параллельных прямых к плоскости на ответ не влияет: важна только их параллельность.
Обсуждение
4 сообщенияРеши номер 11.10
Ответ: а), в), г), д), ж). Пункты б) и е) не подходят.
Краткое объяснение
- а) Параллелепипед — это многогранник, у которого все 6 граней являются параллелограммами.
- в) Его основание — параллелограмм, это следует из определения.
- г) Все четыре пространственные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
- д) Противоположные грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
- ж) Противоположные рёбра параллелепипеда равны.
Почему б) и е) неверны: у произвольного параллелепипеда боковые рёбра не обязаны быть перпендикулярны основанию, а боковые грани не обязаны быть прямоугольниками. Это свойства прямого (в частности, прямоугольного) параллелепипеда, а не любого.
А можешь чертеж
Да. Для № 11.10 удобно нарисовать наклонный параллелепипед, а не куб:
D₁ ─────── C₁
/│ /│
/ │ / │
A₁ ──────── B₁ │
│ │ │ │
│ D ───────│─ C
│ / │ /
│/ │/
A ───────── B
На чертеже:
- \(ABCD\) — нижнее основание, \(A_1B_1C_1D_1\) — верхнее;
- \(AA_1, BB_1, CC_1, DD_1\) — боковые рёбра;
- все грани — параллелограммы, но боковые грани не обязаны быть прямоугольниками;
- боковые рёбра параллельны друг другу, но не обязаны быть перпендикулярны основанию.
Именно на таком наклонном чертеже видно, почему пункты б) и е) для произвольного параллелепипеда неверны.
Диагонали \(AC_1\), \(BD_1\), \(A_1C\), \(B_1D\) пересекаются в одной точке \(O\) — её можно отметить в центре фигуры.
