Реши задание на изображении

Кратко:
а) \(4\); б) \(10\); в) \(21\); г) \(165\); д) \(924\); е) \(495\).

Как это работает

Число \(C_n^k\) — это число способов выбрать \(k\) предметов из \(n\), порядок не важен. Его считают по формуле

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

Также полезно свойство симметрии:

\[ C_n^k=C_n^{\,n-k}. \]

Поэтому, например, \(C_7^5=C_7^2\), а \(C_{12}^8=C_{12}^4\).

Вычисления:

\[ C_4^3=\frac{4!}{3!\,1!}=4 \]

\[ C_5^2=\frac{5\cdot4}{1\cdot2}=10 \]

\[ C_7^5=C_7^2=\frac{7\cdot6}{1\cdot2}=21 \]

\[ C_{11}^3=\frac{11\cdot10\cdot9}{1\cdot2\cdot3}=165 \]

\[ C_{12}^6=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}=924 \]

\[ C_{12}^8=C_{12}^4=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=495 \]

Проверка по треугольнику Паскаля:
В строке \(n=4\): \(1,\;4,\;6,\;4,\;1\), значит \(C_4^3=4\).
В строке \(n=7\): \(1,\;7,\;21,\;35,\;35,\;21,\;7,\;1\), значит \(C_7^5=21\).

«Задание 2» на фото обрезано — если нужно, пришли его отдельно.