номер 371
Сверь числа и знаки с фото.
- Найдите значение корня: а) \(\sqrt{81 \cdot 900}\); б) \(\sqrt{0{,}36 \cdot 49}\); в) \(\sqrt{12\frac{1}{4}}\); г) \(\sqrt{10\frac{9}{16}}\).
Короткий ответ:
а) \(270\); б) \(4{,}2\); в) \(3{,}5\); г) \(3{,}25\).
Как решать:
Используем свойство корня: для неотрицательных множителей
\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b. \]
а)
\[ \sqrt{81\cdot900}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{900}=9\cdot30=270. \]
б)
\[ \sqrt{0{,}36\cdot49}=\sqrt{0{,}36}\cdot\sqrt{49}=0{,}6\cdot7=4{,}2. \]
В пунктах в) и г) сначала переводим смешанное число в неправильную дробь.
в)
\[ 12\frac14=\frac{49}{4}, \]
поэтому
\[ \sqrt{12\frac14}=\sqrt{\frac{49}{4}} =\frac{\sqrt{49}}{\sqrt4} =\frac72=3{,}5. \]
г)
\[ 10\frac{9}{16}=\frac{169}{16}, \]
значит,
\[ \sqrt{10\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{169}{16}} =\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}} =\frac{13}{4}=3{,}25. \]
Проверка: \(270^2=72900\), \(4{,}2^2=17{,}64\), \(3{,}5^2=12{,}25\), \(3{,}25^2=10{,}5625\). Всё сходится.
Обсуждение
2 сообщенияНомер 377
Короткий ответ:
а) \(15\); б) \(5\); в) \(80\); г) \(45\); д) \(6\); е) \(\frac{15}{16}\).
Решение:
В пунктах а), в), г), д) и е) используем формулу разности квадратов:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
а)
\[ \sqrt{17^2-8^2} =\sqrt{(17-8)(17+8)} =\sqrt{9\cdot25} =\sqrt{225}=15. \]
б)
\[ \sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25}=5. \]
в)
\[ \sqrt{82^2-18^2} =\sqrt{(82-18)(82+18)} =\sqrt{64\cdot100} =\sqrt{6400}=80. \]
г)
\[ \sqrt{117^2-108^2} =\sqrt{(117-108)(117+108)} =\sqrt{9\cdot225} =\sqrt{2025}=45. \]
д)
\[ \sqrt{6{,}8^2-3{,}2^2} =\sqrt{(6{,}8-3{,}2)(6{,}8+3{,}2)} =\sqrt{3{,}6\cdot10} =\sqrt{36}=6. \]
е) Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь:
\[ 1\frac{1}{16}=\frac{17}{16}. \]
Тогда
\[ \sqrt{\left(1\frac{1}{16}\right)^2-\left(\frac12\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{17}{16}\right)^2-\left(\frac12\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{17}{16}-\frac12\right)\left(\frac{17}{16}+\frac12\right)} = \sqrt{\frac{9}{16}\cdot\frac{25}{16}} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}. \]
Проверка: \(15^2=225\), \(5^2=25\), \(80^2=6400\), \(45^2=2025\), \(6^2=36\), \(\left(\frac{15}{16}\right)^2=\frac{225}{256}\). Всё сходится.
