номер 377

Краткий ответ: а) \(15\); б) \(5\); в) \(80\); г) \(45\); д) \(6\); е) \(\frac{15}{16}\).

Почему так. Корень \(\sqrt{x}\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(x\). Поэтому \(\sqrt{u^2}=|u|\). Для разности квадратов удобно применять формулу

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

Нельзя заменять \(\sqrt{17^2-8^2}\) на \(17-8\): корень из разности не равен разности корней.

1. а)
   \[ \sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{(17-8)(17+8)} =\sqrt{9\cdot 25}=3\cdot 5=15. \]

2. б)
   \[ \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \]

3. в)
   \[ \sqrt{82^2-18^2}=\sqrt{(82-18)(82+18)} =\sqrt{64\cdot 100}=8\cdot 10=80. \]

4. г)
   \[ \sqrt{117^2-108^2}=\sqrt{(117-108)(117+108)} =\sqrt{9\cdot 225}=3\cdot 15=45. \]

5. д)
   \[ \sqrt{6{,}8^2-3{,}2^2} =\sqrt{(6{,}8-3{,}2)(6{,}8+3{,}2)} =\sqrt{3{,}6\cdot 10}=\sqrt{36}=6. \]

6. е) Здесь \(1\frac{1}{16}=\frac{17}{16}\): \[ \sqrt{\left(\frac{17}{16}\right)^2-\left(\frac12\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{17}{16}-\frac12\right)\left(\frac{17}{16}+\frac12\right)} = \sqrt{\frac{9}{16}\cdot\frac{25}{16}} = \frac34\cdot\frac54 = \frac{15}{16}. \]

Проверка: каждое найденное число неотрицательно, и при возведении в квадрат даёт подкоренное выражение, например \(80^2=6400=82^2-18^2\).