номер 136
Сверь числа и знаки с фото.
136 В треугольниках \(DEF\) и \(MNP\) \(EF = NP\), \(DF = MP\) и \(\angle F = \angle P\). Биссектрисы углов \(E\) и \(D\) пересекаются в точке \(O\), а биссектрисы углов \(M\) и \(N\) — в точке \(K\). Докажите, что \(\angle DOE = \angle MKN\).
Краткий ответ: \(\angle DOE=\angle MKN\).
Доказательство по шагам
В треугольниках \(DEF\) и \(MNP\): \[ EF=NP,\qquad DF=MP,\qquad \angle F=\angle P. \] Это две стороны и угол между ними, поэтому \[ \triangle DEF\cong \triangle MNP. \] Значит, соответствующие углы равны: \[ \angle EDF=\angle NMP,\qquad \angle DEF=\angle MNP. \]
Точка \(O\) лежит на биссектрисах углов \(D\) и \(E\), поэтому \[ \angle ODE=\frac{1}{2}\angle EDF,\qquad \angle OED=\frac{1}{2}\angle DEF. \] Аналогично для точки \(K\): \[ \angle KMN=\frac{1}{2}\angle NMP,\qquad \angle KNM=\frac{1}{2}\angle MNP. \] Из равенства больших углов получаем: \[ \angle ODE=\angle KMN,\qquad \angle OED=\angle KNM. \]
В треугольниках \(DOE\) и \(KMN\) по два угла равны. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому третьи углы тоже равны: \[ \angle DOE=\angle MKN. \]
Проверка: угол между биссектрисами двух углов треугольника равен \[ \angle DOE=90^\circ+\frac{\angle F}{2},\qquad \angle MKN=90^\circ+\frac{\angle P}{2}. \] Так как \(\angle F=\angle P\), действительно \(\angle DOE=\angle MKN\).
