все свойства квадрата по учебнику анатасян чтобы было хотя бы 4
Кратко: по учебнику Атанасяна квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Поэтому квадрат одновременно является ромбом и наследует свойства и прямоугольника, и ромба.
Основные свойства квадрата:
Все стороны равны: \[ AB=BC=CD=DA \] Противоположные стороны параллельны.
Все углы прямые: \[ \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ \]
Диагонали квадрата:
- равны;
- пересекаются под прямым углом;
- точкой пересечения делятся пополам.
То есть \(AC=BD\), \(AC\perp BD\), \(AO=OC=BO=OD\).
Диагонали являются биссектрисами углов квадрата: каждая диагональ делит прямой угол на два угла по \(45^\circ\).
Диагонали разбивают квадрат на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника.
Квадрат имеет 4 оси симметрии: две диагонали и две прямые через середины противоположных сторон. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей.
Полезные формулы: если сторона квадрата \(a\), то \[ P=4a,\qquad S=a^2,\qquad d=a\sqrt2 \] где \(d\) — диагональ.
Проверка: по теореме Пифагора \[ d^2=a^2+a^2=2a^2, \] поэтому \(d=a\sqrt2\). А так как диагональ делит прямой угол пополам, угол между диагональю и стороной действительно \(45^\circ\).
