Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_{1}=2,\; x_{2}=3\).

Как решать:

Ищем два числа, которые:

• в произведении дают \(6\);
• в сумме дают \(5\) (так как перед \(x\) стоит \(-5\), а сумма корней равна \(5\) по теореме Виета).

Это числа \(2\) и \(3\), потому что: \[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]

Значит, квадратный трёхчлен раскладывается на множители: \[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Уравнение принимает вид: \[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]

Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]

Проверка:

Для \(x=2\): \[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0. \]

Для \(x=3\): \[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Принцип: для уравнения вида \(x^{2}+bx+c=0\) удобно искать два числа, произведение которых равно \(c\), а сумма равна \(-b\). Они сразу дают корни \(x_{1}\) и \(x_{2}\).