реши и понятно объясни
Сверь числа и знаки с фото.
3.358 Чему равен остаток r от деления: а) 345 на 10; в) 4734 на 5; д) 1000 на 3; б) 4967 на 2; г) 4856 на 5; е) 10 000 на 9?
Краткий ответ (№ 3.358):
а) \(r=5\); б) \(r=1\); в) \(r=4\); г) \(r=1\); д) \(r=1\); е) \(r=1\).
Остаток — это то, что остаётся после вычитания наибольшего числа, кратного делителю. Если \(a=qd+r\), то обязательно \(0\le r<d\).
Проверяем:
\[ 345=34\cdot10+5 \]
\[ 4967=2483\cdot2+1 \]
\[ 4734=946\cdot5+4 \]
\[ 4856=971\cdot5+1 \]
\[ 1000=333\cdot3+1 \]
\[ 10\,000=1111\cdot9+1 \]
То есть, например, \(345\) на \(10\) делится с остатком \(5\), потому что ближайшее меньшее число, кратное \(10\), — это \(340\), а \(345-340=5\).
Как быстро делать похожие задания:
- при делении на \(10\) остаток — последняя цифра;
- при делении на \(2\): чётное число даёт остаток \(0\), нечётное — \(1\);
- при делении на \(5\): последняя цифра \(0\) или \(5\) даёт остаток \(0\), \(4\) даёт \(4\), \(6\) даёт \(1\) и так далее;
- при делении на \(3\) или \(9\) можно сначала сложить цифры числа и найти остаток суммы.
Проверка: во всех ответах остаток меньше делителя: \(5<10\), \(1<2\), \(4<5\), \(1<5\), \(1<3\), \(1<9\).
Обсуждение
10 сообщенийА почему мы получаем 2483
\(2483\) — это не остаток, а неполное частное. То есть столько раз число \(2\) помещается в \(4967\).
\[ 4967=2\cdot2483+1 \]
Проверяем:
\[ 2\cdot2483=4966 \]
До \(4967\) остаётся ещё \(1\). Поэтому:
\[ 4967:2=2483 \quad \text{(остаток }1\text{)} \]
То есть \(2483\) получается потому, что чётная часть числа \(4967\) — это \(4966\), а
\[ 4966:2=2483 \]
А оставшаяся единица и есть остаток \(r\). В ответ к заданию записываем именно \(r=1\), а не \(2483\).
Объясни что такое поместится вообще
«Поместится» здесь значит сколько полных групп по делителю можно составить, не разрывая число на части.
Например, делим \(4967\) на \(2\). Собираем из \(4967\) группы по \(2\):
\[ 4967=\underbrace{2+2+\dots+2}_{2483\ \text{раза}}+1 \]
Получилось \(2483\) полные пары, а одна единица осталась лишней. Поэтому:
\[ 4967=2\cdot 2483+1 \]
Говорят: «двойка помещается в \(4967\) \(2483\) раза, остаток \(1\)». Проверка:
\[ 2\cdot2483=4966\le 4967, \] а следующая двойка уже не помещается: \[ 2\cdot2484=4968>4967. \]
Похоже с \(345\) и \(10\): из \(345\) можно составить \(34\) полные десятки, а \(5\) останется:
\[ 345=\underbrace{10+\dots+10}_{34\ \text{раза}}+5. \]
То есть «поместится» — это сколько целых делителей можно вычесть, пока хватает числа. Остаток — то, из чего уже нельзя составить ещё одну полную группу.
А почему настолько поместилось что должны миллион раз считают сколько там поместят что ли
А почему настолько поместилось вообще
Нет, никто не считает двойки по одной «миллион раз». «Сколько раз поместится» — это просто неполное частное: сколько полных групп по делителю можно составить. Его находят делением, а не пересчётом.
Для \(4967:2\) можно разложить число по разрядам:
\[ 4967=4000+900+60+7 \]
Делим каждую часть на \(2\):
\[ 4000:2=2000, \] \[ 900:2=450, \] \[ 60:2=30, \] \[ 7:2=3 \text{ и остаток } 1. \]
Складываем полученные целые части:
\[ 2000+450+30+3=2483. \]
Значит:
\[ 4967=2\cdot2483+1, \]
то есть \(2483\) полные двойки и ещё \(1\) остаётся. Это и есть деление «в столбик», только записанное подробно.
Почему именно \(2483\), а не другое число? Проверяем умножением:
\[ 2\cdot2483=4966 \le 4967, \]
а если взять на одну двойку больше:
\[ 2\cdot2484=4968>4967. \]
Второе число уже больше \(4967\), значит, \(2484\) двойки «не помещаются». А \(2482\) — мало: тогда осталось бы \(3\), из которых помещается ещё одна двойка. Поэтому наибольшее подходящее число полных двоек — \(2483\).
Коротко: «поместилось 2483 раза» означает, что \(2\cdot2483\) — наибольшее кратное двойке, не превосходящее \(4967\).
Нет, никто не пересчитывает 2483 раза вручную. «Поместилось 2483 раза» — это просто результат деления, а не процесс счёта каждой пары.
Если раскладывать \(4967\) на группы по \(2\), то получится:
\[ 4967 = \underbrace{2+2+\dots+2}_{2483\ \text{раза}} + 1 \]
То есть \(2483\) полные пары и ещё \(1\) остаётся. Но число \(2483\) находят делением, а не перебором:
\[ 4967:2=2483 \quad (\text{остаток }1) \]
Можно даже разделить по частям:
\[ 4967=4000+900+60+7 \]
\[ 4000:2=2000,\quad 900:2=450,\quad 60:2=30,\quad 7:2=3\ (\text{остаток }1) \]
Складываем:
\[ 2000+450+30+3=2483 \]
А единица остаётся в остатке.
Почему получилось так много? Потому что \(2\) — маленькое число, а \(4967\) — большое. Почти \(5000\), поэтому групп по \(2\) примерно \(2500\). Всё нормально: \(2483\) — это примерно половина от \(4967\).
И главное: чтобы найти остаток, часто вообще не нужно узнавать, сколько раз поместился делитель. В № 3.358 можно обойтись короткими правилами:
- на \(10\): остаток — последняя цифра;
- на \(2\): у нечётного числа остаток \(1\);
- на \(5\): смотрим последнюю цифру;
- на \(3\) и \(9\): складываем цифры числа.
Например:
\[ 345:10 \Rightarrow \text{остаток }5 \]
\[ 4967:2 \Rightarrow \text{остаток }1 \]
\[ 4734:5 \Rightarrow \text{остаток }4 \]
Так что \(2483\) — это просто количество полных двоек, но считать их по одной не надо.
А здесь это составное или простое
Если ты про число 4967 из пункта б), то оно простое: делится только на \(1\) и на само себя.
Проверка: \(\sqrt{4967}\approx 70{,}5\), значит, достаточно проверить простые делители до \(70\):
\[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67. \]
Ни один из них не делит \(4967\). Поэтому \(4967\) — простое.
А вот 2483 — составное:
\[ 2483=13\cdot 191. \]
Так что не путай:
\[ 4967=2\cdot 2483+1, \]
и хотя \(4967\) простое, число \(2483\) само по себе составное.
Остальные числа из № 3.358 тоже составные: \(345\), \(4734\), \(4856\), \(1000\), \(10\,000\).
