Краткий но лёгкий развёрнутый пересказ лёгким слова
Коротко: это параграф про перестановки и факториал — про то, как считать число способов выстроить предметы в ряд и как записывать такие произведения коротко.
Пересказ простыми словами
Перестановка — это любой порядок, в котором предметы можно расположить в ряд. Например, трёх друзей — Андрея, Бориса и Владимира — можно выстроить 6 разными способами (все варианты на рисунке 50).
Откуда берётся 6: на первое место ставим любого из 3 человек, на второе — одного из 2 оставшихся, на третье — последнего. По правилу умножения получаем \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\).
Дальше по той же логике: для 4 человек будет \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) способа, для 7 — \(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040\).
Общее правило: \(n\) предметов можно расставить в ряд \(n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\) способами.
Факториал — это короткая запись такого произведения всех чисел от 1 до \(n\): \[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n. \] Например, \(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\).
Договорённость: \(0! = 1\), чтобы формулы работали без лишних оговорок.
Главный вывод: число перестановок из \(n\) предметов равно \(n!\).
Факториал растёт очень быстро: \(10! = 3\,628\,800\), а \(14! = 87\,178\,291\,200\). Поэтому большие значения считают не вручную, а в электронных таблицах функцией ФАКТР().
Мини-проверка: по таблице \(4! = 24\) и \(7! = 5040\) — сходится с примерами из текста. А шесть перестановок трёх друзей — это АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА (где А — Андрей, Б — Борис, В — Владимир).
