323 номер

В школьной программе корни ищем среди действительных чисел.

Кратко: а) корней нет; б) \(x=\pm0{,}3\); в) \(x=\pm2\sqrt{15}\); г) корней нет;
д) \(x=0,\ \pm\sqrt{3}\); е) \(x=0,\ \pm\sqrt{11}\).

Главный принцип

Для уравнения вида \(x^2=a\):

• если \(a>0\), то \(x=\pm\sqrt a\);
• если \(a=0\), то \(x=0\);
• если \(a<0\), действительных корней нет, потому что квадрат числа не может быть отрицательным.

Для уравнений с \(x^3\) выносим \(x\) за скобки: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Решение по пунктам

а)
\[ 16+x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x^2=-16. \] Квадрат не может быть отрицательным, поэтому корней нет.

б)
\[ 0{,}3x^2=0{,}027 \] \[ x^2=\frac{0{,}027}{0{,}3}=0{,}09, \] \[ x=\pm\sqrt{0{,}09}=\pm0{,}3. \]

в)
\[ 0{,}5x^2=30 \] \[ x^2=60, \] \[ x=\pm\sqrt{60}=\pm2\sqrt{15}. \]

г)
\[ -5x^2=\frac{1}{20} \] \[ x^2=-\frac{1}{100}. \] Это отрицательное число, значит, действительных корней нет.

д)
\[ x^3-3x=0 \] \[ x(x^2-3)=0. \] Отсюда: \[ x=0 \quad\text{или}\quad x^2=3, \] \[ x=0,\quad x=\pm\sqrt3. \]

е)
\[ x^3-11x=0 \] \[ x(x^2-11)=0. \] Значит: \[ x=0,\quad x=\pm\sqrt{11}. \]

Проверка: например, \(0{,}3\cdot(0{,}3)^2=0{,}027\). Если \(x=\sqrt3\), то \(x^2=3\), поэтому \(x^3-3x=3x-3x=0\).