Задание 467 системы 2 и 4 объясни

Кратко

Для задания 467:

• система 2: \((1;-2)\), \(\left(\frac{2}{3};-\frac{8}{3}\right)\);
• система 4: \((5;4)\), \((5;-4)\), \((-5;4)\), \((-5;-4)\).

Система 2

\[ \begin{cases} 3xy+2x=-4,\\ 3xy+y=-8. \end{cases} \]

Вычтем второе уравнение из первого — одинаковое слагаемое \(3xy\) сократится:

\[ (3xy+2x)-(3xy+y)=2x-y. \]

Справа:

\[ -4-(-8)=4. \]

Значит,

\[ 2x-y=4,\qquad y=2x-4. \]

Подставим \(y=2x-4\) в первое уравнение:

\[ 3x(2x-4)+2x=-4, \]

\[ 6x^2-12x+2x=-4, \]

\[ 6x^2-10x+4=0. \]

Разделим на 2:

\[ 3x^2-5x+2=0. \]

\[ D=(-5)^2-4\cdot3\cdot2=25-24=1. \]

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm1}{6}. \]

Отсюда:

\[ x_1=1,\qquad x_2=\frac{2}{3}. \]

Теперь находим \(y=2x-4\):

\[ y_1=2\cdot1-4=-2, \]

\[ y_2=2\cdot\frac{2}{3}-4=\frac{4}{3}-\frac{12}{3}=-\frac{8}{3}. \]

Обе пары подходят. В черновике важно поправить правую часть: при вычитании получается \(4\), а не \(-12\).

Система 4

\[ \begin{cases} 2x^2+y^2=66,\\ 2x^2-y^2=34. \end{cases} \]

Сложим уравнения — \(y^2\) сократится:

\[ 4x^2=100, \]

\[ x^2=25,\qquad x=\pm5. \]

Вычтем второе уравнение из первого — сократится \(2x^2\):

\[ 2y^2=66-34=32, \]

\[ y^2=16,\qquad y=\pm4. \]

Здесь \(x\) и \(y\) независимы, поэтому подходят все комбинации знаков:

\[ (5;4),\ (5;-4),\ (-5;4),\ (-5;-4). \]

Проверка: \(2\cdot25+16=66\), \(2\cdot25-16=34\).

Главный принцип: если в уравнениях есть одинаковые слагаемые, их можно убрать сложением или вычитанием уравнений; после этого остаётся более простое уравнение с одной переменной, а найденные пары нужно проверить подстановкой.